单元起始课教学设计的思考与实践——以“分式”单元整体建构为例

■何丽华

一、缘起

2017年11月1日至2日，江苏省中小学教学研究室在盐城中学举办了2017年江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，笔者在区、市、省各级比赛（均是借班上课）中，一路过关斩将，获得佳绩。比赛路上，有个人创作的努力，有头脑风暴的洗礼，有同伴互助的温暖，有专家引领的震撼，带来的不仅仅是荣誉，更多的是“醒脑”后的深度思考，故撰文与同行交流。

二、思考

（一）教材分析。

1.教材的地位作用。

苏科版《数学》八年级下册第10章“分式”，主要研究分式的概念、求值、基本性质、运算和分式方程等内容。如图1，分式章节的研究既是社会生活实际的需要（分式、分式方程等问题），又是数学本身发展的需要（是继整式之后对代数式的进一步研究，也是对整式运算的完善），也为后面研究反比例函数、二次根式等知识打下基础和铺垫。

图1

2.对教材的理解认识。

“放眼长远看全局”，起始课对全章来说起到了提纲挈领的作用，让学生感受数学知识（分式）的整体性和系统性（如图2），需要培养学生系统地思考：为何学——怎样学——学什么；需要培养学生整体地把握“分式”章节简单内容和结构框架。

图2

（二）学情分析。

1.学生的“数学现实”。

学生已有列代数式的经验，已掌握了分数、整式的相关知识，但还不能“顺利地提取知识”和“有条理地梳理知识”，而且对知识的主动迁移能力较弱。

2.现有的“生活现实”。

对于认知主体——学生来说，数学学习热情较高、思维活跃，也初步具备了独立思考、探究问题的能力，但鉴于现有的学情思考，如何从学生现有的“数学现实”和“生活现实”进行学习呢？确定了本节课的认知路径：会思考——会做题——会回顾——会梳理——会迁移——会反思。

（三）设计理念。

1.设计结构框图。

2.核心活动思考。

根据前面的“教材分析”和对“学情分析”的思考，把分式章节内容分成三个主要板块进行类比探究学习：

（1）概念类比——完善数学学习的“心脏”，帮助学生理解数学学习源泉。经历分式概念形成过程，感受学习分式的必要性（数学内部发展的需要、数学与生活实际的关系），渗透建模思想，培养学生“从具体到抽象”“从特殊到一般”的思维能力。

（2）结构类比——完善数学学习的“骨架”，帮助学生建立认知结构框架。经历分式与分数、整式的结构类比，在观察、思考、猜想、归纳等活动中初步理解分式的整体研究思路和整章内容结构，发展学生系统地认识问题、发现问题、提出问题的意识和能力。

（3）内容类比——完善数学学习的“血肉”，帮助学生积累基本活动经验。经历分式与分数、整式的内容类比，初步理解分式研究学习的主要内容，感受类比学习的基本方法，激发数学学习的兴趣，积累数学学习的活动经验。

3.板书设计规划。

由于本章新知识多、杂，新旧知识联系多，采用“框架式”和“对比式”“贴纸移动式”结合的板书设计，能有效地整合知识，体现知识整合的内容、思路和方法及其逻辑过程。

三、实践

活动一:概念类比研究。

（一）创境激趣。

问题：今年王伟同学年龄是15岁，我的年龄是36岁，6年之后王伟同学年龄与我的年龄之比为____。

（二）生活实际的建模。____

1.一块长方形玻璃的面积是2平方米，长为3米，则宽为____米；

2.在物理课堂上，一辆匀速行驶的小车3秒行驶了s分米，它的速度为____分米/秒；

3.如果两块面积为3公顷、2公顷的梯田分别产棉花m千克、n千克，那么这两块梯田每公顷产棉花____千克。

设计意图：“猜我的年龄有多大？”——“师生年龄问题”——“一般化思考”——“生活问题”——“物理问题”——“生产问题”等一系列问题拉近了三种“距离”：师生之间的距离，生活和数学之间的距离，数学知识（分数、整式与分式）之间的距离；学生明白“为何学”分式——社会生活实际的需要，也激发了学生学习数学的兴趣。

（三）归纳概括。

1.概念归纳：这些式子有何共同点？能否用一个一般的式子表示出来？

2．概念辨析。

判断下列各式中，哪些是分式？

3．概念精致。

问题：如何把一个分式变回原来的分数和整式呢？

设计意图：“概念归纳——概念辨析——概念精致”这三个环节，让学生经历知识的发生发展过程，巧妙的引导让学生第一次理解分式既有分数的“形”的特征，又有整式的“式”的痕迹；同时也感受到数学内部知识（分式和分数、整式）之间的区别与联系，培养了学生“从具体到抽象”“从特殊到一般”“从一般到特殊”的思维能力。

活动二:结构类比研究。

问题1：有关“分数”你知道哪些知识。

问题2：有关“整式”你知道哪些知识。

问题3：观察分数和整式的研究思路（或结构），猜想一下“分式”的研究思路是怎样的？

设计意图：（1）问题1、2的设计目的：引领学生复习分数和整式的相关内容，唤醒已有的知识和经验，为问题3中构建知识的同化和顺应做好铺垫。（2）教法缘由。为什么要利用“以题想纲”“目录研究”和“框架整理”的方式帮助学生回顾知识呢？一是心理学研究表明：“在记忆提取时，回忆的线索具有重要价值，线索回忆效果好于自由回忆，分类回忆好于随机回忆。”因此利用“以题想纲”“目录研究”和“框架整理”为知识回顾提供脚手架，便于学生顺利地提取、整理知识；二是重“怎样学”（学习方法）的指导。“授之以鱼不如授之以渔”，教是为了不教，提升学生学习数学的能力，积累学习数学的经验。（3）重“为何学”的引导和感悟。对整式内容的“目录研究”，让学生自主发现、提出——“为何七年级不安排整式除法的学习”，进一步感悟“为何学”分式。不仅是社会生活实际的需要，而且也是数学本身发展的需要，发展学生系统地认识问题、发现问题、提出问题、分析问题的意识和能力。（4）重整体把握“学什么”的框架。让学生经历分式与分数、整式的结构类比，初步把握分式的整体研究思路和整章内容结构。

活动三:内容类比研究。

类比活动1:求值的探究。

（1）整式的求值：已知a=2，求a-1的值；

类比活动2:基本性质的探究。

感悟提升：在类比学习过程中，我们应该关注什么？你有何感悟和收获？

设计意图：类比活动1采用“对比”的教学形式，感受整式、分式求值过程的相同点——方法都一样（代入、求值）；不同点——分式需考虑分母是否为0。类比活动2继续采用“对比”的教学形式，感受分式、分数的基本性质的异同。两个活动都采用“对比”的教学形式，利于学生进行类比学习。一方面，学生经历了知识的“自然生长”过程，理解了数学知识之间的区别和联系；另一方面，学生通过“感悟提升”，理解并关注类比学习的关键——不同点和相同点。

类比活动3:分式运算的探究。

类比学习：根据黑板的知识框架思考。

（1）分式的运算与谁的运算比较“类似”？

（2）请利用下面式子举例说明（或自己举例）。

学习要求：

1.自主学习；

2.合作学习：交流自己的想法和困惑；

3.全班学习：派代表展示交流。

设计意图：再一次让学生经历“学什么”和“怎样学”的过程。学生在自主探究基础上合作讨论，最后展示交流，教师适时追问。在生生、师生等多维互动过程中，不断地明确、明晰分式运算的内容，加深对知识之间联系的理解；也再一次感受类比学习的基本方法，激发了兴趣，积累了经验。

类比活动4:分式方程的探究。

畅所欲言：面对一个陌生的方程，怎样用类比方法学习它呢？说说你的想法。

回到生活：今年王伟同学年龄是15岁，我的年龄是36岁，多少年之后王伟同学年龄与我的年龄之比为1:2？

设计意图：（1）“畅所欲言”环节的目的就是“完全放开”让学生设计“学习分式方程的学习路径”，再一次提升“类比学习”的自主能力。（2）从开头的“猜年龄”到结尾的“算年龄”，遥相呼应，相得益彰，让学生再一次感受数学（分式）学习的价值所在——“问题来源于实际，又回到实际中去”。（3）4个类比活动的两个特点：①整体性：整体地把握分式章节的大致内容和学习方法；②层次性：学程设计从“扶”（类比活动1、2）到“半扶半放”（类比活动3），再到“完全放开”（类比活动4），让学生拾阶而上，步步为营，逐步掌握“感受——理解——简单运用”的类比学习方法。

活动四:课堂小结提升。

1.请你选择感兴趣的1至2个问题反思一下本节课的内容。

（1）本节课，你学到了哪些知识？

（2）本节课，让你感受最深的是什么？

（3）课后你准备对哪方面进行进一步研究？

（4）还有哪些困惑？此外你还知道了什么？

2.练习反馈。

概念再精致：知识结构——类比填空。

数式：

设计意图：（1）“课堂小结”的价值在于“编筐编篓，全在收口”。新颖的小结方式，可以激发学生主动参与的意识，让学生针对自己的切身体会进行小结，这样能充分尊重个体差异，为每一个学生都创造在数学活动中获得活动经验的机会。（2）“概念再精致”的目的是利于学生对已学的众多“数”与“式”相关概念进行有序的编码、储存，同时避免了数学概念理解中“只见树木不见森林”的现象。

四、反思

本单元起始课教学设计着力体现让学生明白数学知识不是孤立存在的，它们之间存在千丝万缕的联系。着力点在于理顺相应（分数、整式、分式）关系，把握数学本质，深层次加工整合，建立新旧知识、信息之间的联系，经历分式知识整体地、深度地生长过程，进行主动、联系、有意义的深度学习。

（一）关注学生整体地认知。

系统论认为，系统整体功能不等于构成它的诸要素功能的简单相加，而是大于构成它的诸要素功能之和。单元教学设计正是基于对系统功能观的认识。单元教学起始课一开始就应从宏观上整体、系统地认知“分式”这一章。

“眺望四周看局部”。分析学生已有的知识和经验，我们发现：分数、整式与分式三者之间既不是上位概念又不是下位概念，而是并列关系，因此采用并列结合学习，非常好的方式就是类比学习。通过目标问题（分式）与源问题（分数、整式）各个方面（概念、结构、内容等）类比研究，达到主体整体认知运用的相关性——即认知操作中有认知程序的部分包容和认知方式的直接迁移。从而利于学生整体地把握“分式”章节内容和结构框架，帮助学生直击学习内容的本质及其蕴涵的基本思想、方法，形成一个完整的知识链条和结构体系。

（二）关注学习经验的积累。

《义务教育数学课程标准（2011版）》特别强调：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。从熟悉的年龄问题入手，引导学生从已有的知识和经验出发，由分数、整式的实际问题一般化思考后“自然建立”数学模型——分式，设计起点低、立意高。学生通过分数、整式、分式三者类比推理学习，运用知识的迁移规律，从概念、结构、内容三个方面进行主动、联系、有意义的深度学习。“概念类比研究”让学生感受了“寻找类比源”“特殊化与一般化”等学习经验；“结构类比研究”让学生初步理解“以题想纲”“目录研究”等数学学习方法；“内容类比研究”让学生初步感悟类比学习的关注点——相同点和不同点等；整节课的类比学习活动促进了知识、能力和方法的迁移，帮助学生积累了数学学习基本活动经验。

（三）关注知识的自然生长。

李尚志教授曾说：“一条重要的核心素养是举一反三的能力，就是能利用旧知识解决新问题的能力，更高一点，利用旧知识生长新知识的能力。”关注知识的自然生长，必须关注三个方面：为何要生长、怎样生长、生长出什么？

为何要生长？“数学应用”和“数学本身不断发展”是数学学科的两个重要特性，这两个特性铸就数学知识需要不断适应现代社会生活而促进数学概念得以自然生长，概念内涵得以发展延伸。通过“遥相呼应的年龄问题”让学生体验了数学应用的现实需要；对整式内容的目录研究，进而产生对整式知识结构的思考——“为何七年级不安排整式除法的学习”，让学生挖掘了数学内涵的发展需要。从“学习有用”和“数学发展”两个维度设计教学，引领学生亲身经历数学知识的发展过程，感受其应用性和生长性，从而产生进一步探求新知的迫切需要。

怎样生长、生长出什么？在概念的形成时，让学生感受到概念的生长关键——“分式”概念定义（初中阶段）的逻辑生长点是分数的“形”特征、整式的“式”痕迹，完善了数学学习的“心脏”——概念；在知识结构的架构时，让学生理解到“分式的结构”既有“分数的知识结构”又有“整式的知识结构”，即三者在内部结构特征上具有结构的对应性——结构要素的并联对应和结构要素的近似性，同时也明白了“结构生长”是“概念生长”的自然延伸，完善了数学学习的“骨架”——结构；在分式内容完善时，让学生理解和掌握分数、整式、分式三者之间既有相同点又有不同点，同时也再一次让学生感悟到前两者既是后者学习的基础，又是后者学习的“类比源”，完善数学学习的“血肉”——内容。