切触有理插值新方法

经慧芹

(昆明理工大学成人教育学院,云南 昆明 650051)

1 引言

有理插值就是根据已知的点和函数值构造一个有理函数代替未知函数,并使所构造的函数在已知点处的值等于预定的值.带导数条件的有理插值称为切触有理插值,切触有理插值应用广泛,可应用于现代力学的诸多领域,还应用于图像处理[1-3]、机械、建筑、航空航天、舰船、医学等领域的曲线或曲面造型[4-8].切触有理插值的传统方法是连分式,具体计算时需要把已知节点、函数值和导数值代入固定格式循环迭代,不仅计算量大,而且在计算过程中有时会出现分母为零或者插值函数不满足某些插值条件的情况.解决的方法是:把使得分母为零的节点调整至插值点列的最后,从头再来计算[9-10];在不满足插值条件之点处定义另一个插值函数[11],或者增加不满足条件的节点重数[12].这些方法虽然解决了一定的问题,但更增大了计算量,应用不便.近年来又相继出现了一些构造切触有理插值函数的方法,如用分段组合和牛顿插值多项式构造[13],用埃米特基函数构造[14],用Taylor算子构造[15].这些方法虽好,但计算复杂度高的问题仍未得到有效解决.本文给出了完全不同于以上各种方法的一类切触有理插值的新方法,该方法所构造的插值函数,其分母在已知节点处不为零,满足所有插值条件,计算简单,过程公式化,应用很方便.

2 预备知识

定义 2.1若∂P(x)≤m,∂Q(x)≤h,则称有理函数的次数类型为[m|h]型,记

其中∂表示多项式次数.

定义 2.2称形如

的分式为连分式,记作

定义 2.3已知函数f(x),S={xp|p=0,1,2,···}为一个点集,令

称上述式子确定的ξ[x0,x1,···,xl]为函数f(x)在点x0,x1,···,xl处的l阶逆差商.

定义 2.4称连分式

为逆差商-Thiele型连分式;称连分式

为Salzer型切触有理插值连分式.

定义 2.5已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及导数值所谓切触有理插值就是寻求一个有理分式函数使得

其中

定义 2.6令

定义 2.7令

3 主要结论

定理 3.1已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,则有理分式函数

满足插值条件R(xi)=fi(i=0,1,···,n).

证明因为

所以P(xi)=σi(xi)fi,Q(xi)=σi(xi),因此

定理 3.2已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,一阶导数值则有理分式函数:

证明由定义2.7知,

根据公式(2),

于是

从而

又因为

故

定理 3.3已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,一阶导数值二阶导数值则有理分式函数

满足插值条件

证明由定义2.7知,

根据公式(3),

从而

于是

又因为

故

又

故

特例已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,二阶导数值则有理分式函数

满足插值条件一般地，已知节点x0＜x1＜···＜xn及函数值fi,一阶导数值二阶导数值阶导数值则有理分式函数

满足插值条件

在(5)式中添加适当的参数ρi(i=0,1,···,n),可降低插值函数R(x)的次数,即

4 数值算例

例 4.1已知数据求有理函数使得

解法一(用本文的新方法)

根据公式(1),有理插值函数的分子P(x),分母Q(x)分别计算如下:

于是,插值函数经过检验所得有理插值函数R(x)满足全部插值条件,即

解法二(用逆差商-Thiele型连分式算法)

设所求有理函数为:

其中

计算q3时出现了分母为零,运算无法进行下去.

例 4.2已知函数f(x)=ex,插值节点x1=0,x2=1,求有理插值函数使得

解法一（用本文的新方法）

因为

根据公式(2)，

于是,插值函数经过检验所得有理插值函数R(x)满足全部插值条件,即

解法二（用Salzer型切触有理插值连分式算法）

设插值函数

根据Salzer型连分式的系数算法,

所以

经过检验R(x)满足全部插值条件

注 4.1①在例 4.2中,虽然用 Salzer型连分式算法求出了插值函数R(x),但前提是必须已知被插函数R(x).如果只知道几个离散数据点及导数值,则无法计算连分式的系数q1,0,q1,1,q2,0,q2,1,也就无法应用连分式插值.

②本文的新方法无需知道被插函数,只要已知几个数据点就可以求插值函数.由此可见,本文的新方法,不需要任何附加条件,它比连分式应用范围更广,功能更强,使用更方便.

③本文新方法比连分式算法简单.

例 4.3已知求有理函数使得

解由于

根据公式(2),

由 (7)、(8)两式得

经过检验所得插值函数R(x)满足全部插值条件,即

注 4.2①例三中因被插函数f(x)未知,所以用传统的Salzer型连分式算法,无法计算;

②例三说明,本文的新方法比切触有理插值的传统Salzer型连分式算法适用面更广,只要知道了数据点及相应的导数值,用本文的新方法都能简单、顺利地进行运算.

下面引进参数ρi(i=0,1,2),将(9)式中分母Q(x)的次数降低.

令有理插值函数为:

则

若要把Q(x)的次数降低2次,只要解方程组

该方程组有非平凡解,取ρ0=1,ρ1=−3,ρ2=2为其解.

此时

并且

由 (11)、(12)两式得

经过检验,(13)式的插值函数R(x)仍然满足

5 结束语

切触有理插值的应用非常广泛,从工业产品的外形设计到现代医学的3D打印等都有所涉及.因此,探究简单方便的插值方法显得尤为重要.本文方法是构造性的,计算复杂度低,实际应用方便,并且有效克服了传统连分式插值的缺陷,使任意阶导数的有理插值变得可行且容易,具有应用前景,创新点如下:

(1)构造了各阶导数有理插值新公式,计算简单,无需附加条件;

(2)插值函数的分母在节点处不等于零,运算始终能顺利进行,且满足全部插值条件;

(3)添加参数可降低插值函数的次数.

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