Orlicz空间内一类有理函数逼近的一种Jackson型估计

张旭,吴嘎日迪

(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022)

1 引言及主要结果

Rnl表示分母是次数不超过n的多项式,分子是线性函数的有理函数的全体,即

梅雪峰等在文献[1]中研究了在Lp内一类有理函数逼近的问题,所得结果如下：

定理 A[1]设l是自然数,1＜p＜∞,如果f(x)∈Lp[−1,1]在 (−1,1)内改变l次符号,则存在−1＜b1＜b2＜ ···＜bl＜1和使得

其中

Cp,b,l表示与p,b,l有关的正常数.

本文在Orlicz空间内研究类似的有理函数逼近问题.

本文用M(u)和N(v)表示互余的N函数,有关N函数的定义和性质见文献 [2].设L∗M[−1,1]表示区间 [-1,1]上N函数M(u)生成的 Orlicz空间,‖·‖M是 Orlicz范数,定义如下:

其中

是v(x)关于N(v)的模.

对于f∈L∗M[−1,1]和 0≤t≤1,定义连续模如下：

并记

定义 1.1[3]设f∈ L∗M[−1,1],如果有l个点−1＜a1＜ a2＜ ···＜ al＜1,使得

且对所有的j=1,2,···,l和 0＜ η ＜aj+1−aj(aj+1=1),

这里要求

则说f(x)在点a1,a2,···,al处改变l次符号.

本文的主要结果如下：

定理 1.1设f(x)不恒等于 0,f(x)在 (−1,,1)内恰好改变l次符号,则存在−1＜b1＜b2＜ ···＜bl＜1和使得

其中

CM,b,l表示与M,b,l有关的正常数.在不同处表示不同的值.

2 若干引理

引理 2.1[4]设且f(x)延拓如下:

则

并且

引理 2.2[5-6]设在 (−1,1)内恰好改变l次符号.记

为f(x)的一阶Steklov函数,则对充分小的h＞0,fh(x)在区间内恰好改变l次符号.

引理 2.3[4]设fh(x)为f(x)的一阶 Steklov函数,记

为f(x)的二阶Steklov函数,则对充分小的h＞0,有

引理 2.4[3]定义修正的Jackson核如下:

其中

Cn满足

对周期为 2π的可积函数f(x)(记)定义

则

引理 2.5[7]设,x∈I⊂[a,b],定义

则

引理 2.6[1]令

对于θ,s ∈[−π,π]和 cos(θ+s)≠bj,j=1,2,···,l,有

3 定理的证明

在下面的证明中,假设

在区间 (−1,1)内恰好改变l次符号,f(x)不恒等于 0.按引理 2.1的方式把f(x)∈L∗M[−1,1]延拓成Fn(x)∈L∗M[−2,2],显然Fn(x)在区间 (−2,2)恰好改变l次符号,且满足

对x∈[−2,2],对充分小的h＞0,定义Fn(x)的二阶Steklov函数即

对应于f(x)在(−1,1)内的l次变号点对于给定的a1＜a2＜···＜al,在−1＜b1＜b2＜···＜bl＜1,这些点处改变符号.对于给定的ε＞0,

不妨设

令

取通常意义下的Jackson核为:

其中常数dn满足

由文献[8]可知dn～n−7,并且有

定义

因此pn(x)的定义是合理的,且是一个n次多项式,在以下的证明中取

由引理2.1,引理2.3得

由文献[1]知,

利用引理2.5,得

为了估计‖I3‖M,划分区间如下:

对x∈S1,有Cauchy-Schwarz不等式可知,

所以有

对x∈S1,则由文献[1]得

注意到x=cosθ,由引理 2.3,引理 2.4,引理 2.5和

得

由引理2.6可得

令j ∈ {1,2,···,l},并定义

对任何x,u∈[−1,1],注意到x=cosθ,u位于 cos(θ+t+s)和bj之间,当s∈Ej时,

于是由引理2.4得

另一方面,当

由引理2.5可得

所以

对于x∈[−1,1],有

所以

当x∈S2时,有

由引理2.4得

令

为x∈S2的Jackson核,当x∈S2,类似x∈S1的估计

综上所述,

所以

定理得证.

[1]Mei Xuefeng,Zhou Songping.Approximation by rational functions with prescirbed numerator degree inLpspaces for 1＜p＜∞[J].Acta Math.Hungar.,2004,102(4):321-336.

[2]吴从忻,王廷辅.奥尔里奇空间及其应用[M].哈尔滨:黑龙江科学技术出版社,1983.

[3]Hai Lian,Wu Garidi.On approximation by reciprocals of polynomials with positive coefficients[J].Analysis in theory and Applications,2013,29(2):149-157.

[4]王晓芳.若干函数空间内的几个逼近问题[D].呼和浩特:内蒙古师范大学数学科学学院,2006.

[5]Wu Garidi.On approximation by polynomials in Orlicz spaces[J].Approximation theory and its Applications,1991,7(3):97-110.

[6]Wang Xiaoli,Huo Ran,Wu Garidi.On approximation by reciprocals of polynomials with positive coefficients in Orlicz spaces[J].Analysis in theory and Applications,2008,24(4):364-376.

[7]吴嘎日迪.一类新型Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近性质[J].内蒙古师范大学学报(自然科学中文版),2006,35(3):253-257.

[8]Lorentz G G,Approximation of Functions[M].New York:Holt Rinehart and Winston,1966.