PCS-环与扩张

曾庆怡

(韶关学院数学与统计学院,广东 韶关 512023)

1 引言

本文中,除非特别说明,所有的环是有单位元的结合环,所有的模是幺作用右模.

设R是一个环,X是R的非空子集.用rR(X)={r∈R|Xr=0}表示X的右零化子.左零化子类似定义.模M的子模N称为本质子模,表示为N≤eM,如果对M的每个非零子模L,L∩N ≠0[1].设N是模M的子模,则N ≤eM当且仅当对任意 0≠m ∈M,存在r∈R使得 0≠mr∈N.设R是环,用Zr(R)={a∈R|rR(a)≤eRR}表示R的右奇异理想.如果Zr(R)=0,则称R是右非奇异的.

环R为(拟-)Baer环,如果R的每个非空子集(右理想)的零化子作为右理想是由R的幂等元生成[2-3].这些定义是左右对称的.如果R是拟-Baer环,则n阶矩阵环Mn(R)是拟-Baer环.所有的Baer环是非奇异的,但是存在不是右非奇异的右拟-Baer环.

在文献[4]中,环R称为右主拟-Baer环,(或者右p.q-Baer环),如果任意主右理想的右零化子(作为右理想)是由R的幂等元生成.左p.q-Baer环类似定义.如果R既是右的又是左的 p.q-Baer环,则称R是 p.q-Baer的.

环R称为Abelian的,如果R的所有幂等元是中心的.环R称为简约的,如果R没有非零幂零元.任意简约环是Abelian的.在一个简约环R中,所有的幂等元是中心的,且对R的任意子集X有rR(X)=lR(X).环R称为右ACS-环,如果R的每个元素的右零化子在RR的直和项中是本质的[5].

作为p.q-Baer环的推广,定义环R为右PCS-环,如果R的每个主理想的右零化子(作为右理想)在R的由幂等元生成的右理想中是本质的.但是右PCS环未必是右p.q-Baer环.

在第1节引进了PCS-环的定义并给出了一些例子.证明了一个简约环R是右PCS-环当且仅当R是左PCS-环.在本节中还讨论了PCS-环与其他环的关系,比如拟-Baer环,ACS-环.

在第2节讨论了环R和R扩张的PCS性质.证明了:

1.设R是Armendariz环.那么R是右PCS-环当且仅当R[x]是右PCS-环;

2.设R是α-刚的环,那么则R是右PCS(ACS)-环当且仅当Ore扩张R[x;α]是右PCS(ACS)-环.

在第3节,证明了:

1.设R是任意Abelian环.那么是右PCS-环当且仅当R是右PCS-环;

2.强右PCS性质是Morita不变的;

(a)R是右PCS-环;

(b)(i)A和B是右 PCS-环;(ii)如果a∈A,那么作为右R模有

2 PCS-环以及性质

设 Z是整数环.容易证明模 4的剩余类环 Z4是 ACS-环,但不是 p.q-Baer环.对任意x∈Z4,如果r(xZ4)≠0,那么r(xZ4)≤eZ4.由这个例子启发定义PCS-环如下:

定义 2.1环R称为右PCS-环,如果R的每个主右理想的右零化子(作为右理想)在R的由幂等元生成的右理想中是本质的.等价地,R称为右PCS-环,如果对任意a∈R,

左PCS-环类似定义.如果R既是右又是左PCS-环,则称R为PCS-环.右PCS-环类包括右p.q-Baer环,右FI-扩展环,交换的ACS-环和p.p-环(环R称为右p.p-环如果每个主右理想作为右R模是投射的).有如下蕴含关系:

Z4和Z8是PCS-环,但不是p.q-Baer环.设R是交换环,R作为右R模是一致的.如果存在非零元a∈R使得rR(a)≠0,那么R不是右p.q-Baer环.因此右或左PCS-环未必是右或左非奇异的.

除了Z4和 Z8外,下面的例子也是右 PCS-环,但不是p.q-Baer环,右ACS-环,右扩展环,右FI-扩展环和右 p.p-环.

例 2.1(1)存在右PCS-环,既不是右ACS-环也不是右扩展环.设M2(Z)是整数环Z上的 2×2矩阵环[6].令

则R是右拟-Baer环,因而是右PCS-环.但R不是右ACS-环.事实上,设

注意到R的幂等元只有O和2阶单位矩阵E.假设R是右ACS-环,设则

这是不可能的.同样R既不是右p.p-环,也不是左p.p-环.

(2)考虑环Z⊕Z,其运算是通常的加法和乘法.子环R={(a,b)∈Z⊕Z|a≡b(mod 2)}是交换环,R的幂等元是(0,0)和(1,1).容易证明R是右PCS-环,但不是右p.q-Baer环.

(3)整数环Z上的下三角n×n(n≥2)矩阵环是拟-Baer的,因而是右PCS-环;但不是右CS-环.设D交换整环,R=Mn(D),n≥2.那么R是拟-Baer环;因而是PCS-环.

(4)设Z2是模2的剩余类环,

是Z2上的Hamilton四元数环.则R不是p.p-环[7].容易证明R是PCS-环.

(5)存在不是右FI-扩展环的右PCS-环.设D是单的整环,非除环,则R是拟-Baer环;因而是右PCS-环.但R既不是右也不是左FI-扩展环[5].

定理 2.1设R是简约环.则下列命题等价:

1.R是右PCS-环;

2.每个有限生成右理想的右零化子(作为右理想)在RR的直和项中是本质的;

3.每个主右理想的右零化子(作为右理想)在RR的直和项中是本质的;

4.每个主理想的右零化子(作为右理想)在RR的直和项中是本质的;

5.R是右ACS-环;

6.R是右Von Neumann正则环;

7.(1)到 (6)的所有的 “右 ”字可以换成 “左 ”字.

证明(1)⇒(2)设

是R的任意有限生成右理想.则

因为R是右 PCS-环,存在使得对任意 1≤i≤n有rR(xiR)≤eeiR.令e=e1e2···en∈R,因为R是简约,有e2=e且因此有rR(X)≤eeR.

(2)⇒(1)显然;(1)⇔(3)显然;

(3)⇔(4)注意到对任意a∈R有rR(aR)=rR(RaR)即可;

(4)⇔(5)对一个简约环R以及R的任意子集X有rR(X)=lR(X),且R的任意幂等元是中心的.设a∈R,x∈rR(a).因为lR(a)=rR(a),于是∀r∈R,有arxarx=0,arx=0.因此∀a∈R有rR(aR)=rR(a).

(5)⇔(6)假设R是右 ACS-环.设a∈R.则存在R的幂等元e使得rR(a)≤eeR.设R=eR⊕(1−e)R.则

因为R是简约的,R是非奇异的[8].但是rR(a)≤eeR蕴含er/rR(a)是奇异的,因此

于是R是Von Neumann正则环.反之是显然的.

(1)⇔(7)对一个简约环R以及R的任意子集X有rR(X)=lR(X),且R的任意幂等元是中心的.

现在考虑不可分解右PCS-环.

引理 2.1设R是不可分解环.则:

1.如果R是简约右PCS-环,那么rR(a)≠0蕴含a∈Zr(R);

2.如果R是右非奇异简约PCS-环,那么R是整环;

3.如果R是交换的简约PCS-环,那么R是整环.

证明(1)注意到不可分解环R的所有中心幂等元是0和1,结果是显然的.

(2)这是(1)的直接结果.

(3)因为一个交换环R是非奇异的当且仅当R是简约的,这与(2)相同.

一个幂等元e∈R称为左(或右)半中心的,如果xe=exe(或ex=exe),对任意x∈R.用Sl(R)(或Sr(R))表示R的所有左(或右)半中心幂等元的集合.

引理 2.2设R是右(或左)PCS-环,则对任意e∈Sr(R)(或e∈Sl(R)),eRe也是右 (或左)PCS-环.

证明假设R是右PCS-环.设e∈Sl(R),C=eRe.设a∈C.因为R是右PCS-环,存在f2=f∈R使得rR(aR)≤efR.注意到

rR(aC)=rR(aR),rC(aC)=rR(aC)∩C=rR(aR)∩C ≤efR∩C=(efe)C.

因此C是右PCS-环.左PCS-环的证明类似.

推论 2.1设R是简约PCS-环.则eRe也是PCS-环,e2=e∈R.

定理 2.2设R半完全简约环.则R是右PCS-环当且仅当R是整环的有限直和.

证明假设R是右PCS-环.设e1+e2+···+en=1,这里{e1,e2,...,en}是R的所有两两正交的幂等元的集合.因为R是简约的,所有ei是中心的;因此而每个eiR是R的不可分解理想.于是有引理2.1,引理2.2可得结果.反之是显然的.

命题 2.1设R是右ACS-环,C是R的中心,对R的任意幂等元e,存在f2=f∈C使得eR∩C≤efC.则C是PCS-环.

证明设C是R的中心,a∈C.因为R是右ACS-环,

因此

由假设,存在f2=f∈C使得eR∩C≤efC.因此rC(aC)≤efC,从而C是右PCS-环.

推论 2.2设R是Abelian ACS-环,C是R的中心.则C是右(ACS)PCS-环.

环R称为强右PCS-环,如果对任意a∈R,rR(aR)≤eeR,e是R的左半中心幂等元.显然强右 PCS-环是右 PCS-环.所有强右 FI-扩展环是强右 PCS-环.Z4是强 PCS-环,但不是 p.q-Baer环.同样,容易证明如果R是强右 PCS-环,那么eRe也是强右 PCS-环,e∈Sr(R).

命题 2.2设R是右非奇异环.则R是素的当且仅当R是半中心简约强PCS-环.

证明假设R是素的,则R是拟-Baer半中心简约的[10].因此R是强右PCS-环.

反之,设X,Y是R的任意理想,XY=0.设a∈X.因为R是右强 PCS-环,存在e∈Sl(R)使得Y≤rR(aR)≤eeR.同时,因为R是半中心简约,要么e=0,要么e=1.如果e=0,则Y=0.如果e=1,则a∈Zr(R)=0;因此X=0,从而R是素的.

结合文献[10]引理1.1和这个命题有:

推论 2.3设R是右非奇异环.则下列命题等价:

1.R是半中心简约强右PCS-环;2.R是半中心简约拟-Baer环;3.R是素的.

命题 2.3设R是右非奇异环.则下列命题等价:

1.R是强右PCS-环;2.R是右PCS-环;3.R是右p.q-Baer环.

证明只需证明 (2)蕴含(3).设R是右 PCS-环,a∈R,则rR(aR)≤eeR,e2=e∈R.对于e∈eR,存在R的本质右理想I使得eI⊆rR(aR).因此aReI=0.因为R是右非奇异的,于是aRe=0,R是右p.q-Baer环.

3 PCS-环和扩张

本节讨论PCS-环的一些扩张.首先考虑R上的一元多项式环R[x].

命题 3.1设R是简约环,S=R[x]是R上的多项式环.如果S是右PCS-环,则R也是.

证明假设S是右PCS-环,a∈R,则存在S的幂等元e(x)使得rS(aS)≤ee(x)S.设e0是e(x)的常数项,因为R是简约,有e(x)=e0∈R.现在证明rR(aR)≤ee0R.

易证rR(aR)≤ e0R.对任意 0≠e0r∈e0R,则存在 0≠g(x)∈ S使得 0≠e0rg(x)∈rS(aS).因此aSe0rg(x)=0;特别地,aRe0rg(x)=0.设

则aRe0rbn=0,且rR(aR)≤ee0R.因此R是右 PCS-环.

注 3.1如果R不是简约,但S=R[x]是右 PCS-环,R可能是右 PCS-环.比如,令R=Z4.容易证明R[x]是右PCS-环.

设R是右PCS-环.什么时候S=R[x]是右PCS-环?为了讨论这个问题引进下面的好多项式的定义.

定义 3.1设f(x)是R[x]中的n次多项式,其首项系数为a.f(x)称为好多项式,如果由b∈rR(a)蕴含b∈rR(f(x)).

由文献[9]命题 2.2知,对任意f(x)∈R[x],存在b∈R使得 0≠f(x)b是好多项式.

命题 3.2设R是右PCS-环,S=R[x].假设对任意f(x)∈S,存在好多项式g(x)∈f(x)S使得rS(f(x)S)≤erS(g(x)S).则S=R[x]是右 PCS-环.

证明设f(x)是S的任意多项式.由假设,存在好多项式g(x)∈f(x)S使得

只需证明存在e(x)2=e(x)∈S使得rS(g(x)S)≤ee(x)S.

设a是g(x)的首项系数.因为R是右PCS-环,rR(aR)≤eeR,e2=e∈R.设

则g(x)Sh(x)=0;特别地,g(x)Rh(x)=0.因此aRbn=0,g(x)Rbn=0.于是由归纳法有aRbi=0,bi∈rR(aR)≤eeR,对所有的i∈{0,1,...,n}成立.因此

设

不失一般性设ecm∉rR(aR),则存在bm∈R使得

因此g(x)Recmbm=0.如果0≠ecm−1bm∉rR(aR),有bm−1∈R使得

因此

继续下去,存在b∈R使得 0≠ek(x)b∈rS(g(x)S),这意味着rS(g(x)S)≤eeS.因此S是右 PCS-环.

环R称为Armendariz,如果多项式

满足f(x)g(x)=0,则aibj=0,对所有i,j(见文献[11]).简约环是Armendariz环,Armendariz环是Abelian(见文献[11],引理7).环R是Armendariz当且仅当R[X]是Armendariz(见文献 [12],定理 7).

引理 3.1设R是Armendariz环,R[x]是多项式环.如果

是R[x]的幂等元,则e(x)=e0∈R.

证明因为

所以

命题 3.3设R是Armendariz环,则R是右PCS-环当且仅当R[x]是右PCS-环.

证明假设R[x]是右PCS-环,a∈R.则存在幂等元

使得rR[x](aR[x])≤ee(x)R[x].显然,e(x)=e0∈R.容易证明rR(aR)≤ee0R,因此R是右 PCS-环.

反之,设

这是因为R是Armendariz,因而是Abelian的.

对任意

则对任意r∈R有f(x)rg(x)=0,且对所有的0≤i≤n,0≤j≤m有airbj=0.因此对所有i,j和g(x)∈eR[x]有bj∈rR(aiR).

设

不失一般性,选取r∈R使得对所有0≤j≤p有因为R是Armendariz的,对所有

有

于是R[x]是右PCS-环.

现在考虑 PCS-环的 Ore扩张.设R是环,α:R→ R为环同态,δ:R→ R是α-导子,R的 Ore扩张R[x;α,δ]是R上的多项式全体关于多项式的加法和下面的乘法:xr=α(r)x+δ(r),r∈R构成的环.如果δ=0,则用R[x;α]表示R[x;α,0],又称为斜多项式环.

设α是R的自同态,α称为刚自同态,如果rα(r)=0蕴含r=0,r∈R.环R称为α-刚的,如果R存在刚自同态α.任意刚自同态是单的,任意α-刚的环是简约环.但是reduecd环中存在不是刚自同态的自同态.

引理 3.2设R是α-刚的环,R[x;α,δ]是R的 Ore扩张.则:

1.如果ab=0,a,b∈R,则对任意正整数n有aαn(b)=αn(a)b=0;

2.如果ab=0,则对任意正整数m有aδm(b)=δm(a)b=0;

3.如果对任意正整数k有aαk(b)=αk(a)b=0,则ab=0;

4.设

则pq=0当且仅当aibj=0,对所有的0≤i≤m,0≤j≤n;

5.如果

则e=e0∈R.

证明见文献[6]的引理4,命题6和推论7.

环R的Baer性和拟-Baer性,对Ore扩张并不遗传.存在Baer环R,但是R的Ore扩张不是右p.q-Baer(见文献[6]的例8).同样存在非拟-Baer环,但是R的Ore扩张R是拟-Baer的(见文献[6]的例9).证明了一个α-刚的环R是p.q-Baer环当且仅当R[x;α,δ]是p.q-Baer环.由上面引理可得:

定理 3.1设R是α-刚的环.则R是右PCS-环当且仅当Ore扩张R[x;α]是右PCS-环.

证明假设S=R[x;α]是右PCS-环,a∈R.则存在幂等元

使得rS(aS)≤ee(x)S.因为R是α-刚的,e(x)=e0∈R.现在证明rR(aR)≤ee0R.

对任意

因为对任意r∈R有arb=0,于是

因此b∈rS(aS),b∈e0R,从而rR(ar)≤e0R.

对任意 0≠e0r0∈e0R,则存在

使得 0≠e0r0h(x)∈rS(aS).特别,are0r0h(x)=0,对所有的r∈R.则存在k∈{0,1,···,t}使得 0≠e0r0bk∈rR(aR).因此rR(aR)≤ee0R,R是右 PCS-环.

反之,假设R是右PCS-环.设

对任意

则g(x)Rf(x)=0,且对所有的 0≤i≤m,0≤j≤n,r∈R,bi(raj)=0.因此aj∈rR(biR),0≤i≤m,0≤j≤n.于是aj∈eR,f(x)∈eS,从而rS(g(x)S)≤eS.

设

有

由引理 3.2,∀0≤ i≤ m,0≤ j≤ k,0≤ s≤ t,biαi(dj)ecsαs(r)=0,有g(x)k(x)eh(x)r=0.因此rS(g(x)S)≤eeS,S是右PCS-环.

注 3.2定理 3.1中,R是α-刚的这个条件不是必要的.比如,考虑环 Z⊕Z,其运算是通常加法和乘法.子环R={(a,b)∈Z⊕Z|a≡b(mod 2)}是交换环,且R的幂等元是(0,0)和(1,1).容易证明R是右PCS-环.设α:R→R,α(a,b)=(b,a),则α是R的自同构,R不是α-刚的.由文献 [6]的例 9,R[x,α]是拟 -Baer环,因而是右 PCS-环.

设R是环,α是R的自同态.称R是α-相容的,如果rα(s)=0⇔ rs=0.显然,如果R是α-相容的,则α是单的;如果R是α-刚的,则R是α-相容的.事实上,设rα(s)=0,则srα(sr)=0.因为R是α-刚的,且是简约的,因此sr=0,rs=0,如果rs=0,则

但是逆命题一般不成立.任意环R是1R-相容的;如果R不是简约的(比如,Z4),则R不是1R-刚的.容易证明,对一个简约的环R,R是α-刚的当且仅当R是α-相容的.

存在环R和 1R≠α∈End(R)使得R是α-相容的.同样存在Abelianα-相容的环,但不是α-刚的.

例 3.1(1)设Q是有理数环.考虑由Q通过Z的平凡扩张R=Z∗Q,R的加法和乘法如下定义:对于 (n,q),(n′,q′)∈ R,

定义α:R→R,α(n,q)=(n,kq),(n,q)∈R,这里k∈Q{0,1}.则 1R≠α是R的自同态.容易证明R是α-相容的,因而是α-刚的.

(2)存在环R以及R的自同构α使得R是α-相容的,但不是α-刚的.设R=Z∗Z4是由 Z4通过Z的平凡扩张.定义α:R→R,α(n,x)=(n,−x),对任意(n,x)∈R.则R不是简约的,因而不是α-刚的.但是R是 Abelianα-相容的环.

对一个α-相容的环R,有与引理3.2相似的结果.

引理 3.3设R是α-相容的环,a,b∈R.则:

1.如果ab=0,a,b∈R,则对任意正整数n有aαn(b)=αn(a)b=0;

2.如果存在正整数k使得aαk(b)=αk(a)b=0,则ab=0;

3.如果R是Abelian的,e(x)=enxn+···+e1x+e0是R[x,α]的幂等元,则e(x)=e0∈ R.

证明(1)和(2)的证明类似于文献[6]的引理4.

因为e1α(e0)+e0e1=e1蕴含e0e1α(e0)=0;则e0e1e0=0,e0e1=e1e0.因为R是α-相容的,e1=0.假设对所有1≤k＜n,ek=0.则

因此有e0ek+1(e0)=0,ek+1=0.从而e(x)=e0∈R.

定理 3.2设R是 Abelianα-相容的环.假设∀f(x)∈R[x,α],存在好多项式g(x)∈f(x)R[x,α],使得

则R是右 PCS-环当且仅当Ore扩张R[x;α]是右PCS-环.

证明充分性与命题3.2类似,必要性与命题3.3类似.

4 PCS环的 (形式三角)矩阵环

文献[7]证明了拟-Baer环上的n×n矩阵环和n×n上(下)三角矩阵环也是拟-Baer的.自然就问:PCS-环上的n×n矩阵环或n×n上(下)三角矩阵环还是PCS-环吗?

设Tn(R)表示R上的n×n上三角矩阵,Mn(R)表示n×n矩阵环.首先考虑上三角矩阵环Tn(R).

定理 4.1设R是Abelian环,则是右PCS-环当且仅当R是右PCS-环.

证明假设R是右PCS-环.设因为R是右PCS-环,存在

使得

则有x,y∈rR(aR).同样,z∈rR(cR)∩rR(aR)∩rR(bR)≤efR.因此

于是

对任意

证明存在s′∈S使得

情形 1如果er≠0,则存在r0∈R使得 0≠err0∈rR(aR).因此

情形 2如果ft≠0,这与情形1类似.

情形 3如果es≠0,这也与情形1类似.因此S是右PCS-环.

反之,假设S是右PCS-环.a∈R,则存在S的幂等元E使得

容易证明rR(aR)≤eR.设0≠er∈eR,则存在使得

则要么erx≠0,要么ery≠0,同样aRerx=aRery=0.因此R是右 PCS-环.

上述命题可以推广到任意正整数n≥3的情况.有:

命题 4.1设R是Abelian环.则下列命题等价:

1.R是右PCS-环;

2.对任意正整数n,Tn(R)是右PCS-环;

3.对某个正整数n,Tn(R)是右PCS-环.

对于右ACS-环,上述定理一般不成立(见下面的例子4.1).但是有:

命题 4.2设Tn(R)是R上的n×n阶上三角矩阵环.若Tn(R)是右ACS-环,则R也是.

证明只需证明n=2的情形.n≥3的情形类似.设a∈R,则

是T2(R)的幂等元.显然e2=e∈R,容易证明rR(a)≤eR.

设0≠er∈eR,则且存在T2(R)的非零元使得

则要么 0≠erx,要么ery≠0,有erx∈ rR(a)或ery∈ rR(a),因而rR(a)≤eeR.故R是右 ACS-环.

上述命题的逆命题一般不成立.

例 4.1Z是ACS-环.但是上三角矩阵环T2(Z)不是右ACS-环.

证明设T=T2(Z).容易证明T的所有幂等元是:

这里 0≠b∈Z.

如果T是右ACS-环,直接计算表明rT(t)作为右理想在T中必须是本质的.设则存在使得

但这是不可能的.

现在讨论R上的矩阵环Mn(R).p.q-Baer性质是 Morita不变性质 (见文献 [4]的定理 2.2).尽管不知道右 (或左)PCS是否是 Morita不变性质,但是强右 (或左)PCS是 Morita不变性质,下面的定理说明了这一点:

定理 4.2设R是环,则R是强右 PCS-环当且仅当M2(R)是强右 PCS-环.因此强右PCS-性质是Morita不变性质.

证明假设M2(R)是强右PCS-环,a∈R,则存在

使得

直接计算可以证明a11∈Sl(R),且因此R是强右PCS-环.

反之,假设R是强右 PCS-环,则存在幂等元eij∈Sl(R)使得rR(bijR)≤eeijR,对所有的i,j∈{1,2}.令e=e11e12e21e22,则e2=e∈Sl(R),且

现在证明

因而M2(R)是强右PCS-环.容易看出

余下的与定理 4.1的证明类似.可以把结果推广到n≥3的情形,因此强右 PCS性质是Morita不变性质.

考虑形式三角矩阵环的PCS-性质.设R是环,I是R的右理想.设M是左R-模,令

设N是右R-模,令

定理 4.3设A,B是环,AMB是左A右B双模.设是由A,B,M构造的形式三角矩阵环.则下列命题等价:

1.R是右PCS-环;

2.(i)A和B都是右 PCS-环;(ii)如果rA(aA)≤eeAA,a∈A,则作为右B-模,rM(aA)≤eeAAM.

证明假设R是右PCS-环.设a∈A,则存在幂等元使得

显然有

同样容易证明rA(aA)≤eeAA,且A是右PCS-环.同理可证B是右PCS-环.

对任意 0≠eAm∈eAAM,则

使得

则存在n∈M使得m=eAn,因而s∈eRR.于是rR(rR)≤eRR.

情形 1如果eAa1≠0,则存在a2∈A使得则

情形 2如果eBb1≠0,这与情形1类似.

情形 3如果eAm≠0,因为作为右B-模,rM(aA)≤eeAAM存在b2∈B,使得

则

且rR(rR)≤eeRR.因此R是右PCS-环.

[1]Goodearl K R.Ring Theory[M].New York:Marcel Dekker,1976.

[2]Kaplansky I.Rings of Operators[M].New York:Benjamin,1965.

[3]Clark W E.Twisted martix units semigroup algebras[J].Duke Math.J.,1967,34:417-424.

[4]Birkenmeier G F,Kim J Y,Park J K.Principally quasi-Baer rings[J]Comm.Alg.,2001,29(2):639-660.

[5]Nicholson W K,Yousif M F.Weakly continuous and C2-rings[J].Comm.Alg.,2001,29(6):2429-2446.

[6]Hong C Y,Kim N K,Kwak T K.Ore extensions of Baer and p.p-rings[J].J.Pure and Appl.Alg.,2000,151:215-226.

[7]Pollingher A.Zaks A.On Baer and quasi-Baer rings[J].Duke Math.J.,1970,37:127-138.

[8]Lam T Y.Lectures on Modules and Rings(GTM189)[M].New York:Springer,1998.

[9]Shock R C.Polynomial rings over finite dimensional rings[J].Pacific.J.Math.,1972,42(1):251-257.

[10]Birkenmeier G F,Kim J Y,Park J K.A sheaf representation of quasi-Baer rings[J].J.Pure and Appl.Alg.,2000,146:209-223.

[11]Nam Kyun Kim.Armendariz rings and reduced rings[J].J.Alg.,2000,223:477-488.

[12]Anderson D D,Camillo V.Armendariz rings and Gaussian rings[J].Comm.Alg.,1998,26(7):2265-2272.