一次函数与反比例函数相交问题的再探究

李文萍 仲荣青

【摘要】一次函数与反比例函数是初中数学的基础知识，也是初中水平学业考试必然要考查的知识要点，在教学中，笔者发现学生在做一次函数与反比例函数相交问题时，往往不得要领，运算量大，正确率也不高，而且还很费时间，本文对一次函数与反比例函数相交问题进行更深一步探究，发现一次函数与反比例函数相交的新结论，可以有效地提高解题效率.

【关键词】一次函数；反比例函数；举例

众所周知，如果我们设一次函数为y=ax+b（a≠0），反比例函数为y=kx（k≠0），一次函数与反比例函数有无交点方程组是否有解ax2+bx-k=0 ①是否有解.即：

（1）b2+4ak>0方程①有两个不相等的实数解y=ax+b与y=kx有两个交点.

（2）b2+4ak=0方程①有两个相等的实数解y=ax+b与y=kx有唯一一个交点.

（3）b2+4ak<0方程①没有实数解y=ax+b与y=kx没有交点.

下面就是本文重點阐述的重点.

【结论】如果一次函数y=ax+b（a≠0）和反比例函数y=kx（k≠0）有两个交点A，B，且一次函数y=ax+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，那么AC=BD（或BC=AD）.

图1

证明 （1）若一次函数与反比例函数两个交点在同一象限，不妨设两个交点在第一象限，如图1所示.

过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

则∠1=∠2=90°.

∵AE⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴AE∥OD，∴∠CAE=∠BDF.

由题知y=ax+b与x轴交于点D的坐标为-ba，0.

设A为（x1，y1），B为（x2，y2），

由方程①知x1+x2=-ba，

∴x1=-ba-x2，

∴|x1|=-ba-x2，

∴AE=FD，∴△CAE≌△BDF，

∴AC=BD，∴AC+AB=BD+AB，

即BC=AD.

图2

（2）一次函数与反比例函数两个交点不在同一象限，不妨设两个交点在第一、三象限.

证明 如图2所示.

由（1）的证明得AC=BD，

∴AC-CD=BD-CD，

即BC=AD.

【推论1】如果一次函数y=ax+b（a≠0）和反比例函数y=kx（k≠0）有唯一一个交点A，且一次函数y=ax+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，那么点A是线段CD的中点.

图3

证明 如果一次函数y=ax+b（a≠0）和反比例函数y=kx（k≠0）有唯一一个交点，

即在（1）中，点A，B重合时，如图3所示.

∵AC=BD，点A，B重合，

∴AC=AD，

∴A是线段CD的中点.

【推论2】如果正比例函数与反比例函数有交点，那么这两个交点关于原点对称.

图4

证明 如果正比例函数y=ax（a≠0）和反比例函数y=kx（k≠0）有交点，

即在（1）中，点C，D，O重合时，如图4所示.

∵AC=BD，点C，D，O重合.

∴AO=BO，

∴点A，B关于原点对称.

【中考题实例】

1.如果一个正比例函数的图像与反比例函数y=6x的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为.

解 ∵正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，∴x1=-x2，y1=-y2，

∴（x2-x1）（y2-y1）=2x2·2y2=4x2y2=4×6=24.

2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图像与一次函数y=-2x+6的图像无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）.

图5

解 由题知A为（3，0），B为（0，6），由推理1知，C是线段AB的中点.

∴C为32，3，

∴过C的反比例函数为y=92x，

∴所求反比例函数y=kx中，k>92.

图6

3.如图6所示，直线y=-33x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第一象限交于B、C两点，且AB·AC=4，则k=.

解 过点B作BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，

由题知∠FBD=∠EAB=60°，AC=BD，

∴k=BE·FB

=ABsin∠EAB·BDcos∠FBD

=AB·AC·sin60°·cos60°

=4×32×12

=3.

结束语

以上内容是笔者在教学中的发现，希望对各位教师的教学有益处，对学生的学习有帮助.不足之处，欢迎指正.