基于数学概念的本质设计问题串

陈蒲汉

[摘 要] 学生学习数学概念就是要习得这个概念的本质属性，且在脑中建立概念的体系. 针对概念所设计的系列问题，要能够揭示概念的本质属性，学生才能在这些问题的引导下掌握这个概念，并把这个概念纳入认知结构中.

[关键词] 数学概念的本质；问题串；教学设计

教学设计是关于“教什么”和“怎么教”这两个问题的解决方案. 教学内容包括教材的显性知识以及其后的隐性知识. 隐性知识包括数学的本质、过程、思想和结构四个方面，[1]而知识要通过学生本身的内化才能进入他们的认知结构. 学生若遇到问题，就会产生心理缺口，当问题得到解决，缺口就会弥合，表现为一种愉快的体验，而问题是激发学生内在动机的最好素材.[2] 因此，教师要设计合适的问题，引导学生思考、探索，进而发现规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.[3] 问题是架接于学生与新概念间的桥梁，是教师发挥其主导作用的工具. 那么，所设计的问题就要针对相应教学内容的本质，学生在思考这些问题时，才能更好地帮助他们理解相应数学内容，进而形成良好的数学认知结构.

数学概念教学的特点

学习者先客观感知某类事物形成表象，再抽象概括出它们的本质属性，于是才形成学习者脑中的概念. 而表达概念要借助命名及定义，即揭示这一类事物的共同本质属性，并用精练的语言符号予以描述. 在学习概念过程中，学习者要不断地识别区分事物的本质属性和非本质属性，最终掌握本质属性. 如遇到新的概念，若学习者的认知结构中缺少与之相关的概念或观念，则需要用概念形成的方式学习；而若学习者认知结构中具备接受新概念的概念或观念，则可以采用概念同化的方式学习.

有意义学习的实质是，符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系.[4] “数学教学的根本任务就是要造就学生的良好的数学认知结构，以满足后续学习需要，最终提高学生的问题解决能力. 良好的数学认知结构的特征包括四个方面：①足够多的观念；②具备稳定而又灵活的产生式；③层次分明的观念网络结构；④一定问题解决策略的观念.”[5]

概念的教学是要使学生在脑中形成相应的表象，在脑中建构起良好的认知结构——由反映概念属性的观念组成，而认知结构中观念的多少、观念的准确与否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素.[6] 学生学习概念，并非单个概念，而是要把习得的概念纳入原有的认知结构中，而新的概念也会延伸、扩充成某个体系. 因此，设计问题串的一个目的就是帮助学生在学习过程中建立这样的体系，也就是在设计问题串时，需要从两个角度考虑：概念体系和某个概念.

针对建立概念体系的问题串设计

数學的概念间有着相互的联系，如从属关系、交叉关系、并列关系、对立关系等，教学中可以设计相应的问题，并且引导学生利用演绎、类比思想方法，建立概念体系，使概念纵横贯通. 数学概念有的本身会延伸扩充为一个体系，有的会串联到另一些概念形成网络.

如函数的教学，函数的本质属性是一个关系f：A→B. 因此，需要针对这样的本质属性进行教学设计. 函数的教学内容包括：①定义，即用语言或符号表达的本质属性；②表达形式，图、表、解析式；③具备的性质，单调性、最值、奇偶性等；④分类，二次函数、指数函数、对数函数等. 由此可知，函数概念的教学不是一蹴而就的，是需要围绕函数本质属性来进行整体设计的.

例如，可以设计这样一系列的问题：①如下的例子中，表达了什么样的关系？有什么共同特点，请用数学语言描述；②可以用哪些形式表达函数呢？请从函数概念的角度，分析这些表达形式；③当函数定义域的元素从小到大排序后，所对应的函数值可能呈现什么变化？请用函数概念分析单调性（奇偶性）；④在学习某个基本初等函数时，可以设置问题：请根据函数概念谈谈对这个函数的认识.

学生在这些问题的引导下，可以从不同角度认识函数的本质，有助于学生理解函数的概念. 这个问题串并非是在一两个课时处理完，它们需要几周的时间才能完成，甚至是更长的时间. 这整个教学的过程，就是帮助学生建立概念体系的过程，设计的这些问题旨在意识到这些新的概念是一个函数的体系，也就有利于学生把这些概念组织起来形成体系.

又如，复数概念的教学. 复数的本质是一个二元数，有大小和方向. 它属于数系的扩充，就会与实数有关系. 二元数的特性，又和点坐标、向量有联系. 它的方向性，可以与三角函数有联系. 可以设计这样的问题系列：①复数a+bi（a，b∈R）与实数的联系与区别；②每一个有序数对（a，b）组成一个复数，这个特点和以前所学过的哪个知识类似；③根据复数与实数、点及向量的关系，复数会有哪些运算性质.

第一个问题可以让学生知道要两个实数才能表示一个复数，并且有顺序. 初步形成复数是一个二元数的观念，也与实数、多项式的概念建立联系. 第二、第三个问题就是让学生进一步与以前所学过的概念建立联系. 甚至可以让学生根据其有方向的特点联系到三角函数，而复数模又可以借助向量、点建立与圆的联系.

学生在这些问题的引导下，会从不同的角度认识复数这个概念，更好地理解复数的本质——二元数. 也是在这个过程中，学生会把这个概念与原有的点、向量、实数、多项式、圆这些概念建立联系，形成新的认知网络.

针对某个概念的问题串设计

每个数学概念有其内涵与外延，学生习得概念，就是掌握它的本质属性，区分非本质属性. 学生的认知结构中要包含一些例证和反例的观念. 设计的问题就是要引导学生归纳它的本质属性，积累一些例证及反例.

如函数定义的教学在举例时，可分为两部分，其一，提供例子，设计问题引导学生归纳其本质属性；其二，提供例证及反例深化概念的理解. 第一部分提出问题：如下的例子中，表达了什么样的关系？有什么共同特点？请用数学语言描述：①跑步时，路程与时间的关系（可用图或式子表示）；②昨天的气温与时间的曲线图；③我国人口统计数据表；④小球上抛，高度与时间的关系.

根据学生的回答，适当追问. 变量有范围吗，可以怎么表示？这两变量是什么样的关系？还有什么共同特点吗？等等，这些围绕着函数概念的问题串，一步步地引导学生归纳出函数概念的本质属性.

在教学过程中，所预设的问题并非一定要教师提出来. 在请某同学回答该问题后，教师可不急着评价，而把问题抛给学生. 可以对其他同学说：“你们有什么想法？”或问：“这对吗，你怎么想的？”“你对他的说法，有什么疑惑吗？”如此，学生可以相互讨论，教师可适当引导，使讨论不偏离主线，那么学生通过自己提出一系列问题及解答，认识到函数概念的本质. 教师提出的问题与学生的疑惑，组成逐步揭示概念本质的问题串.

高中数学中表达概念常见是给概念下定义，即揭示概念这一类事物的本质属性，并用精练的语言予以描述.[7] ■學生需要明白定义中词语、句子、符号、式子所代表的内在含义，并进而领会概念的内涵. 这个过程不能只是教师讲解，也可以设计相应问题串帮助学生理解.

如导数几何意义的教学，可以设计这样的问题：①圆的切线有什么特点？②什么是椭圆的切线，圆切线的特点，在椭圆还具备吗？③不封闭的曲线，如抛物线，会有切线吗？如何作出它的切线？④如何作任意曲线的切线？

圆的切线的特点：①切线与圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于半径；③圆心与切点的连线垂直切线. 当讨论椭圆与它的切线时，容易发现椭圆与它的切线只有一个公共点，只有这个特点与圆类似. 如此，学生会知道哪些特点不是一般切线的本质属性. 而他们能直观感知到一般曲线是可以作出切线的.

这时教师可以在黑板上画一段曲线，请学生画切线并口述作图的方法，再让其他学生讨论他的作法. 若学生的作法是强调只有一个公共点，请有不同意见的学生说出他的疑惑或是例子，又或教师提出反例——正弦函数图像作切线，它和曲线不是只有一个交点. 期间，可以引导学生注意到：虽然整体上可能会有多个公共点，但在某个局部范围内是只有一个公共点的. 这时再问学生：在曲线上任取两点，当其中一个点向另一个点移动，此时过这两点的直线怎么变化？由此学生，可以知道切线的本质属性. 这时可以再提出问题：结合导数与平均变化率的关系，当这两点无限接近时，割线的斜率与切线斜率有什么关系？这样学生就很容易知道切线的几何意义了.

问题串设计的策略

设计的问题并非为了提问而设计，而是为了引导学生习得概念的本质. 问题只是为了引导学生思考，从而习得这个概念. 在学习过程中，无论是教师预设的问题，还是学生提出的问题，都是这问题串的一部分.

数学教学的根本任务就是要造就学生的良好的数学认知结构. 习得一个概念就是让这个概念成为其认知结构的一部分. 所以，问题串设计的策略可分为以下几个方面：

（1）抓住概念本质，分析其定义. 围绕以下方面设计问题：①定义中语言符号的作用；②具体化，即相对应的例子或图像等；②定义中相关知识点.

（2）利用概念变式突出概念的本质属性. 提供具有概念本质属性的各种例子，以及非本质属性的各种例子，或者是一些反例. 再设计问题引导学生归纳共同点（本质属性），从而明确概念的关键属性.

（3）实践中运用概念，即概念的具体化. 设计不同类型的问题，再归纳可能的适用范围，如此也有利于建构概念体系.

（4）概念体系的建构. 概念间存在联系，如：从属关系、相邻关系、并列关系等. 这时的“问题”是为了引导学生整理、归类所学概念，理清概念间的关系.

教学是以学生为主体，教师为主导. 教师设计的问题，为学生铺设通往新知的桥梁，帮助学生建立良好的认知结构. 不同教师对于同一概念所设计的问题是不尽相同的，即使同一位教师可能在不同时期对同一概念所设计的问题也会不相同，但其目的都是服务于概念，都是为了让学生更好地把握住概念的本质. 而要达到这样的目的，就需要围绕着概念的本质设计问题.

参考文献：

[1] 李炜. 高水平数学教学到底该教什么[J]. 数学通报，2014，（6）：31-35.

[2] 何小亚. 数学学与教的心理学[M]. 广州：华南理工大学出版社，2011：140-141.

[3] 教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[4] 何小亚. 数学学与教的心理学[M]. 广州：华南理工大学出版社，2011：89.

[5] 何小亚.数学学与教的心理学[M]. 广州：华南理工大学出版社，2011：124-126.

[6] 何小亚，姚静. 中学数学教学设计[M]. 北京：科学出版社，2010：39.

[7] 何小亚. 数学学与教的心理学[M]. 广州：华南理工大学出版社，2011：166.