“直观想象”与“数学运算”下的变式教学——以解析几何中的“一题多变，一题多解”为例

从建华 王 芳

（江苏省宜兴中学，江苏 宜兴）

高三圆锥曲线复习中的最大特点：计算量大、本文就从直观想象与一题多变、数学运算与一题多解的角度去审视运算中的问题，通过“一题多变，一题多解”的教学方式，能让学生对一类题型融会贯通，掌握解决问题的方法，培养学生发散性思维，从而让学生从复杂的计算过程中解脱出来，上升到思想方法层面，从而达到培养学生的数学核心素养.

一、概念教学中的直观想象与一题多变

概念教学是培养学生科学素养的一种重要途径，历年来高考数学试题中涉及数学概念的题型频繁出现.借助圆锥曲线几何图形的直观性去洞悉数学问题的本质，培养学生抽象思维，能进一步提升学生几何直观的想象力，激发学生推理分析的能力.

数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，很多时候学生做题思维被卡住的原因是文字、符号语言转化为相应图形语言出现了障碍，需要教师选择几何图形为背景的问题进行有针对性的教学，让学生从图形中感悟至升华，从而提升直观想象的数学素养.

例 1.已知 F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，求椭圆C的离心率e.

分析与解：由“线段PF2与x2+y2=b2圆相切”得OQ的长就是短半轴 b，且垂直 PF2，再由 OQ 是△F2PF1的中位线得

何图形是解决问题的本质，也是对学生直观想象素养的熏陶.

二、方法指导中的数学运算与一题多解

方法的指导，即在学生解题过程中，对学生的审题、解题、运算、化简等进行一定的指导与帮助，使学生掌握合理的解题方法且能进一步优化运算过程.而解析几何中运算的方法指导是指在运算中对复杂的数学关系式处理上的指导，常常受题目的条件、选参的方向以及数学思想方法的影响.

解析几何中的运算是解题的核心，也是学生最大的困惑，是高校区分学生能力的重要方面.在培养数学运算核心素养过程中，学生能够进一步提升数学运算能力，促进数学思维发展，培养学生严谨的学习习惯.

分析与解：把椭圆的定义、几何性质、代数运算等内容渗透到直线与圆锥曲线的位置关系问题中，充分体现了知识点之间的横向联系，符合了直线与椭圆B级考查要求的基本理念.

解法一：设直线 BM：y=k（x-2），得 M（-2，-4k），得下用斜率乘积为-1，或用向量点乘为0得到证明；

解法二：设M（-2，m），求出直线BM的方程，再结合椭圆方程得方程组，求出下同解法一；

解法三：设 P（x0，y0），求出 BM，得设而不求是解析几何中的一种重要的方法，利用方程进行整体消元，优化运算：

解法四：利用“椭圆上的点与椭圆上关于中心对称的两点连线的斜率之积为定值转化，由及直线OM、BM斜率的关系可以得AP，OM垂直.

三、两点思考

在解析几何的教学过程中，数学运算核心素养贯穿整章内容的教学，在“一题多变、一题多解”的教学环节下，不断提升学生的数学运算核心素养，同时直观想象、逻辑推理等核心素养也得到了相应的渗透，从而使得数学核心素养内化于心，成为学生心灵深处的“财富”！

1．一题多变，在变式发展中培养学生的直观想象素养.问题1和变式都对椭圆的定义进行了考查，放在一起教学可以帮助学生认识、理解题目的本质，进一步深化对概念的理解，也可以帮助学生在新的问题分析中感受直观到抽象、已知到未知的变化，进一步夯实基础知识，同时也培养了学生的直观想象素养.

2．一题多解，在探索发现中提升学生的数学运算能力.“一题多解”是高中数学解题教学中一个重要的组成部分，让学生从各个不同的角度去思考问题，训练学生的发散性思维，从而培养学生再思考、再发现、再创造的能力.问题2由通性通法到最优解法、由复杂的运算到精密的思维、由设点斜率到利用一些重要的结论进行跳跃，从多种角度去解决同一问题，既拓宽了学生的解题思路，又训练了学生的数学运算化简能力.

变式教学有利于培养学生发散性思维，拓宽学生的解题思路；变式教学也可以让学生感受知识与方法的发展过程，体会自我认知能力的提升，发现数学解题过程中的乐趣，进一步提高学生学习数学的积极性.因此，我们要整合教学中的资源，将变式教学渗透到高中数学课堂中去，以提升学生的数学素养.