《线性代数》在线开放课程的典型问题与教学设计

朱荣坤，谢加良，高 峰

（集美大学 理学院，福建 厦门 361021）

近年来，随着互联网的全面普及和教育技术的不断革新，大规模在线开放课程在全球兴起.高等教育领域掀起了一股以“降低教育成本、促进教育公平、提升教学质量、提倡终身学习”为宗旨的在线开放课程建设的浪潮，为“互联网+”时代的高等教育改革注入了新的活力.2015年4月，《教育部关于加强高等学校在线开放课程建设应用与管理的意见》[1]出台，提出“鼓励高校结合本校人才培养目标和需求，通过在线学习、在线学习与课堂教学相结合等多种方式应用在线开放课程”，这对推动我国大规模在线开放课程体系建设探索“高校主体、政府支持、社会参与”的中国特色发展道路具有重大指导意义.

尽管在线开放课程的开发与建设如火如荼，但在具体实施过程中也遇到了许多障碍和问题[2-3]，优质专业性课程的稀缺便是其中亟待解决的一个重要问题.积累相当规模的优质专业课程，并广泛融入整个高校

课程教学系统，是全面建设在线开放课程体系，不断推进新时期高等教育改革的先决条件和重要环节.然而，现实是我国的优质专业在线课程建设还非常薄弱.集美大学自2016年开始进行《线性代数》在线课程建设，课程组成员根据在线开放课程建设的原则，结合在线开放课程属性，引入最新信息和教育技术，进行相关教学内容设计，进一步依托教改项目《代数类基础课程的典型问题与方法研究》，凝练出多讲“典型例题”，增补教学内容，整合知识体系[4].《线性代数》是高校理工科、经管类各专业的数学必修课程.在多年的课堂教学实践中观察可见，学生在该课程学习中独立思考能力较差，在接触具体内容时，通常是“知其然不知其所以然”，解题时只会套公式，缺乏在理解的基础上灵活应用的能力[5-7].鉴于在线开放课程资源丰富、选择多元、方式灵活、互动性强等特点,本文通过分析线性代数中的知识点、结合多年课堂教学经验强调易错点以及基于线性方程组和等价命题构建框架图等方式，提出《线性代数》在线开放课程教学设计的新思路、新方案.

1 整合知识点

概念多、性质杂，逻辑性强，知识点前后纵横交错，是《线性代数》的课程特点.教学中要把前后知识点的典型问题进行有效的联系、整合、提炼，这对学生大有帮助.整合知识点体现出在线课程教学注重学生的学而设计的理念，不仅根据所开设的课程和使用的教材来确定，更主要的是根据所隶属的更大系统的学习需求，根据学习者的学习能力和水平来设计.

1.1 行列式的典型问题

主要思路：化零（观察特点，选择作行或列变换，化简为三角形或者降阶）

重要技巧：

①把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）；

②把所有行（列）加到同一行（列）；

③逐行（列）相加（减）.

基本方法：

①按定义或按某一行（列）展开（先化0，再展开，展开后注意各项的符号！）

②化为三角形

典型例题：爪形行列式、非对角线元素全相等的行列式.

掌握了这些基本要点，计算基本类型的行列式就能有章可循.

1.2 方阵的运算性质

矩阵常见的运算有加法、数乘、乘法、逆、转置等，彼此之间既有联系又有区别，通过梳理、提升知识点，可列表如下（表中涉及的运算均有意义）.

1.3 初等变换的应用

初等变换是线性代数中的一个极为重要的工具，利用它可以解决许多问题.通过初等变换，就可以把线性代数的主体内容“串”起来，它是线性代数的教学主线，贯穿整个教学始终[5]，需要加以强化.

教学中要时刻提醒学生思考这样的问题：初等变换可以解决哪些问题？其中哪些可作行变换也可作列变换？哪些只能作行变换？学生普遍容易出现的错误是：求特征向量时，先对特征多项式做列变换化简，再回到对应的矩阵形式去求解齐次线性方程组从而得到基础解系，错误地认为这就是所求的特征向量，且检查多遍也找不出错在哪里.一般可要求学生只用行变换以避免出错.

1.4 阶梯形（行最简形）矩阵的化简

阶梯形是线性代数的一个重要求解目标，许多问题都可归结为化阶梯形矩阵，它的最大好处是便于求秩和求解.涉及到的问题主要有：线性方程组的求解（含基础解系）与讨论、向量组的秩与极大无关组及其线性表示问题、逆矩阵、矩阵的秩、特征向量的求法.因此，在教学中一定要引导学生熟练掌握阶梯形的化法，一般方法是：逐列按行非零首元从上而下化零（行最简形需再从下而上化零）；非零首元要尽量简单（最好是±1），避开或推迟分数计算.

1.5 特征值特征向量的注意事项

（2）求特征值，能不能列变换？（可以）；求特征向量，能不能列变换？（不可）.

（3）如何确定特征向量要求几个？ （n-r（A-λE））；对错怎么检查？（代入验证）.

（4）特征向量一定非零（如果求出特征向量为零，一定是算错了）

1.6 解题套路举例

线性代数存在一些解题套路，教学中可以加以引导.例如：

（2）“拼凑”逆矩阵：

题型：已知n阶方阵A的某个多项式f（A）=0，证明与A有关的矩阵□可逆，并求□-1.

表1 矩阵常见的运算Table 1 Common operations of matrices

比如 A2-A-2E=0，求（A+2E）-1=？

解法：可把f（A）=0根据目标矩阵□进行“拼凑”因式，得到矩阵▲，满足□·▲=E（或▲·□=E）；或者利用待定系数法.

（3）线性无关的常规证明：先假设向量组的线性组合为零，设法变形为与已知条件有关的等式，利用已知条件得出相关结果，最终推导出线性组合的系数全部为零.

2 强调易错点

易错点，即学生普遍容易出现错误的知识点，有的是同一教学班级作业中体现出来的共性问题，甚至是历届学生都经常出现的典型错误，而学生自己往往没有意识到.因此，在线课程教学中必须及时强调易错点，充分考虑学习者的初始特征，特别是有关学习方面的特征，并据此安排不同的教学目标，进行不同的教学设计.杜绝了易错点，也就澄清了知识点的模糊理解，对提高课程认知水平的意义显而易见.

2.1 矩阵与行列式的基本区别

在符号、阶数、加法、数乘、乘法、转置等运算方式及其运算规律存在很大不同，易混淆.

表2 矩阵和行列式的区别Table 2 Differences between matrices and determinants

2.2 矩阵乘法交换律的不成立

导致矩阵的乘法性质与数的乘法存在许多不同之处，这往往是学生容易“想当然”的出错之处.比如AB=0⇒/A=0orB=0（矩阵存在零因子），又如矩阵乘法不满足交换律，所以要想方设法让学生切实掌握乘法必须区分左乘、右乘.

2.3 行列式计算常见的易错点

（1）展开后漏符号项、漏展开项；

（2）四阶（及以上阶数）按对角线法则展开；

（3）把一个行数、列数不相等的所谓“行列式”计算得煞有其事；

2.4 线性方程组的通解

特解由原线性方程组求得，基础解系则由导出组求得，也就是说特解与常数项有关、求基础解系时与常数项无关（必须是零），学生容易保留常数项去求基础解系.线性方程组是否有解，要把矩阵的秩与n作比较，特别要注意n的含义，它指未知数个数，也是系数矩阵的列数，但未必是行数、也未必是方程组的方程个数.在教学中应特别强调注意方程的个数与是否有解没有直接联系.

3 构建框架图

在线课程教学设计以先进教育教学理念做指导，除了体现课堂教学设计中知识的记忆之外，还强调意义的建构.这种建构的意义在于帮助学生对当前学习内容所反映的事物性质、规律以及事物之间的内在联系达到较深刻的理解，从而达到融会贯通，真正形成自己的知识体系.

因此，基于知识架构，我们以线性方程组为主线构建《线性代数》课程的知识框架图，如图1.

图1 《线性代数》课程的知识框架图Figure1 Knowledgeframeworkdiagramforthelinearalgebracourse

而与此框架图相应的一个等价命题几乎贯穿着线性代数整个课程内容，即：

n元齐次方程组AX=0有非零解⇔r（Asn）＜n⇔A的列向量组线性相关（即A不可逆）⇔A含有零特征值.

如果考虑这个结论及其逆否命题，以典型行列式为背景显然可以构造出一系列类型题.

在国内《线性代数》《高等代数》经典代数教材中都有如下一道典型的行列式习题[8,9]：

由于行列式问题常常可以演化为线性方程组、向量组的线性相关性、矩阵、特征值、二次型等问题，所以可在教学中进一步作变式，体现数学解题中的转化思想.这种变式题型在线性代数考研中经常出现.

变式1联系线性方程组解的问题.

例1[10]（数学③，2002）设齐次线性方程组

其中 a≠0，b≠0，n≥2.试讨论 a,b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.

变式2联系矩阵问题.比如可逆、秩、向量组的线性相关性.

例2[10]（数学③④，2001）设矩阵，且秩（A）=3，则 k=_______.

本题可推广为n阶情形.

下例是作者于在线课程建设中编制的一道具有一定综合性系列题.

②判定A的列向量组的线性相关性；

③讨论A的秩；

④确定当A的伴随矩阵A*可逆时，a应该满足的条件；

⑤讨论齐次方程组Ax=0的解，并求通解.

变式3联系特征值问题.

例4[10]（数学③，2004）设 n 阶矩阵

①求A的特征值和特征向量；

②求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵.

变式4联系二次型问题.可借助典型行列式的矩阵形式探讨对应二次型的正定性等问题.

例5[10]（数学①②③④，2007）设，则A与B（ ）

①合同且相似；②合同但不相似；③不合同但相似；④既合同又相似.

本题合同是二次型的概念，相似问题可从讨论特征值入手.特征多项式是典型行列式，可求A的特征值为0,3,3.特征值不同则不相似，但正负惯性指数相同，所以合同.

这里，体现了数学解题中的转化思想，即把要解决的未知、陌生的问题转化为已知、熟悉的问题来处理，通过精选习题、变式探究、总结升华，培养学生灵活变通的思维品质.掌握这种转化思想，乃至能将一类问题之间的联系看清、摸透，不管它以何种形式或面目出现，都可以快速找到解题思路，进而大大提高解题能力和技巧.

在线开放课程是“互联网+”时代高等教育质量切实提升、教学改革深化开展的关键一环；是打破时空限制和知识藩篱，整合全国教学资源为大众共享的有效途径；是实现全民学习、终身学习的重要平台.在线开放课程体系建设是一项复杂的、综合性的系统化工程.相比于传统教学模式，在线课程在教学内容和教学设计上要求更严谨，既要充分考虑到课程内容的多少，又得兼顾学生可接受的程度.因此，我们通过总结多年线下教学中的经验和学生的反馈情况，在每个不超过15 min的微课中整合知识点、强调易错点以及构建框架图.同时，我们通过课后作业配备、例题选讲、在线答疑、阶段小结、期考复习等方式进行补充和完善.由此，体现出在线课程模式比传统教学模式在时间、空间、交流互动、考核等多方面的优势.

在不断向纵深推进的过程中，尚有诸多问题亟待解决，诸多工作有待开展，同时也有广阔的空间可以探索.在线开放课程的建设和完善，要求高校教师调整角色定位，从单纯的知识传授者转向多元的学习引领者.在实践层面，教师在给予学习者基础课程资源的同时，还要针对不同专业背景、不同层次需求的学生设计不同的学习内容，进一步整合知识点，总结在课堂教学中出现的典型问题等，多种方式并行，以此作为在线开放课程资源的有益补充.