以武思学——管窥复习教学的设计境界

☉浙江省湖州市第二中学 罗展华

☉浙江省湖州市第二中学 沈 恒

众所周知，复习教学相比新知教学要更难演绎，究其原因首先是复习教学知识点多且散乱、不宜找到重点；其次复习教学如何调动学生的积极性、开发学生的思维是难点；最后作为公开课，需要有一定的示范性和前瞻性，既铸造了自身复习教学特色的烙印，也给学生留下了新的思考、新的启发.笔者在一线教学多年，也对复习课教学情有独钟.近期笔者在本地区给年轻教师示范一堂数列复习课，授课之余笔者也颇有些想法与读者交流.

笔者以为，学习和习武是相通的，试想：一代宗师都是从“扎马步”开始，学习“基本招式”；在不断的学习中“改进招式”；在不断的改进中青出于蓝而胜于蓝的“创造招式”；最后达到参悟“武学意境”的顶峰.我们的教学何尝不是如此，从全新课程标准提出的核心素养来看，掌握基本知识——善用基本技能——创造改编问题——参悟知识，不恰恰是如此吗？笔者将习武的认知与数列复习教学结合起来，较为创新的开设数列求和复习课，从某一个点进行深入和发散，将学科素养呈现其中，现将课堂教学实录与大家分享，请读者批评指正.

一、教学实录

师：同学们大家好.和同学们一样，在成长道路上我拜读过很多武侠名著，书中习武之人都有“基本招式”——“改进招式”——“创造招式”——“武学意境”这样的习武历程，那么同学们在数学学习中也有这样的感悟心得吧？

生1：我想学习数学应该也是如此，首先应该是扎实的基本功，进而是解决新的问题，再次是思考创造一些新的问题，最后思考从这样的学习过程中得到的一些学习经验和总结.

设计意图：拉近学生之间的心理距离，从学生感兴趣的认知和学情出发，设计“习武”与“学习”的感悟对比，通过回顾以往数学学习过程中如何形成知识的螺旋式上升，给课的走势定下基本基调.

1.基本招式

条件：已知数列｛an｝和｛bn｝满足：an=2n，bn=3n-1（n∈N*）.

问题1：记｛an｝前n项和为An，记｛bn｝前n项和为Bn，求An和Bn；

问题3：若cn=log3bn+1，求｛cn｝前n项和Tn；

问题4：若cn=a·nbn，求｛cn｝前n项和Tn；

师：请同学们思考，上述问题如何解决？

生2：问题1是最基本的等差、等比数列求和，运用基本公式法就可以！

生4：问题3代入化简，可以得到cn=log3bn+1=9n-1+n，典型的分组求和！

生5：问题4cn=a·nbn是等差数列乘以等比数列的典型模型，应该使用错位相减解决！

生6：观察问题5的结论，让我想起了学习等差数列求和公式时所提到的S=1+2+…+100，高斯用倒序相加的想法轻松地解决了问题.所以我从（fn）+（f1-n）这一角度入手思考，通过简单的运算，我发现只要自变量之和为这样问题就轻松解决了！

师：同学们说得很好！看来大家对数列求和的基本招式掌握得都比较扎实，我们用二十个字总结数列求和的基本招式：“公式求和+裂项相消+分组求和+错位相减+倒序相加”，这是数列求和最基本的解决招式！特别是问题5，同学们用类比的数学思想将倒序相加很好的表述了，我们进一步在基本招式的基础上研究改进招式！

设计意图：首先问题的背景都是同一总条件，这样的设计好处在于节省了复习教学在审查题意上的时间、提高教学效率；其次，数列求和并不是采用一一罗列知识点的传统复习方式，而是以问题为载体的复习提炼，具备知识点与问题情境的融合统一；再者复习教学从一开始就积极引导学生积极参与，让课堂成为教师主设计、学生主参与的学习阵地.

2.改进招式

师：在基本招式的问题上，我们先来看看老师给出的改进招式：

问题6：若cn=|10-an|，求｛cn｝前n项和Tn.

师：请同学们想一想，在等差数列通项上带有绝对值，如何借助基本招式来破解呢？

生7：我觉得首先必须借助分类讨论，将问题分解成两部分解决.不妨记Pn=10-2n，记｛Pn｝前n项和为Sn，则易得Sn=9n-n2. 当1≤n≤5时，Tn=Sn=9n-n2，当n≥6时，Tn=2S5-Sn=n2-9n+40，因此

设计意图：本题的改进缘自2013年浙江高考文科数列解答题，基于绝对值等差数列的基本研究方式需要依仗分类讨论的数学思想，将问题在基本等差数列的基础上进行了加强，既感受了这是基本招式上的深化，也深刻体会了高考问题缘自基本试题不经意的转变.

问题7：将｛an｝、｛bn｝中各项按a1、b1、a2、b2、a3、b3…排成一个新数列｛cn｝，求cn及｛cn｝前n项和Tn.

师：将问题按照穿插进行改进，请大家思考如何求解cn的通项公式及其前n项的和？

生8：a1、b1、a2、b2、a3、b3…依次为2、30、4、31、6、32…，通过研究数列各项的规律，可以发现是如何书写严密的求解过程还没想好.

师：从项数角度思考，我们发现an位于数列cn中的奇数位置，其每一项在cn中位置分别为第1、3、5…，an中的第n个数恰为cn中的第项，因此当n为奇数时，cn=2+；bn位于数列cn中的偶数位置，其每一项在cn中位置分别为第2、4、6…，bn中的第n个数恰为cn中的第项，因此当n为偶数时进一步考虑｛cn｝前n项和Tn.

生9：需要分类，可以先求解n为偶数时｛cn｝前n项和Tn，考虑到n为偶数时，cn中的项来自an和bn中的项各占一半，因此当n为奇数时，我们可以借助已经得到的偶数项的结论进行求解，，所以

设计意图：将问题进行穿插融合，不难发现简单的等比、等差数列也可以产生大问题，从项数角度进行分析，特别是关注原数列在新数列中所处的位置是解决问题的关键，也是学生重要的易错点.从基本招式进行的项数角度的改进，从学生最惧怕数列的视角——（无限的）项数突破，进而提高复习针对性.

设计意图：本题的设计是为教学内容转向做准备和铺垫的，笔者在数列求和的复习中进一步引入了与之相关的最值问题求解，进一步拓展了“改进招式”，以期待学生在“创造招式”能有更为广泛的思路.

3.创造招式

给学生一定的探究时间，请学生板演其“创造的招式”，下面的问题全部出自学生的命制：

学生创造招式1：若cn=3an+2bn，求｛cn｝前n项和Tn.

学生创造招式2：若cn=a2n+2bn+1，求｛cn｝前n项和Tn.

学生创造招式4：若2an=Sn·Sn+1，求Sn.

学生创造招式5：若cn=abn，求｛cn｝前n项和Tn.

这是五位学生在课堂中自己创编的问题，笔者惊叹学生在有限的时间内学生的创造力，与学生一起对学生创编的问题简单做出了剖析：

学生自我剖析1：与问题3类似，利用分组求和解决.

学生自我剖析3：与问题4类似，利用错位相减解决.

学生自我剖析4：这是学生命制的一道很有想法的、研究数列通项的问题，可以发现学生在进行问题命制的时候，首先其通过特殊值的方式研究数列Sn前几项，进而通过隔项成等比的方式进行求解.

学生自我剖析5：学生较有创意的将数列下标引入到通项公式中，进而从两者结合的角度进行了分组求和.

设计意图：从学生的视角体会哪些数列求和以及相关问题是学生比较关注的，让所有学生参与的创编以及自主解决这些创编，真正做到了在课堂教学中“以学生为主体”的教学设计，从而开发学生如何将数学知识自我整合的思维和能力，提高了学生数学运用的综合能力.

4.学习意境

限于课堂教学时间有限，笔者给出了教师层面对于问题的进一步开放创编，供学生课后进一步对数列相关知识在综合性问题中的整合性考查展开研究：

问题14：若cn=an·bn，问｛cn｝中有无连续三项成等比？请说明理由（.由cn-·1cn+1=c2n显然不成立，故不存在）

问题15：若cn=a2bn-1，问b·kbk+（1k∈N*）是否为｛c2n｝中的项？请说明理由（.b·kbk+1=32k-1为奇数，而cn=4·3n-1-2为偶数，故不可能为｛cn｝中的项.）

问题16：将数列｛bn｝中的第三项、第六项、第九项…划去，得到一个新数列｛cn｝，求｛cn｝前2n项的和T2n.

问题17：若，求｛cn｝前n项和Tn的取值范围.（由，由裂项相消得结合函数单调性可知

设计意图：在学生亲身感受了问题的创编之后，教师给出了各种具备联系其他综合性知识的问题储备，尤其以问题9、10、12、13从函数视角研究数列，是体现数列作为具备函数特征最好的本质体现.从这一系列问题的给出，我们不难发现，从数列基本求和出发（基本招式）——绝对值数列与奇偶项数列求和的研究（改进招式）——学生创编问题（创造招式）——数列求和演变综合性问题思考（学习意境），螺旋式上升的体现了课堂教学设计的主体与发散，有效的提高了数列求和复习的深度和广度.

师：让我们对数列求和进行课堂小结.

生11：回顾了求和的基本知识，以及含有绝对值的数列求和以及奇偶项的分类求和等等.

师：从知识层面来说，同学们总结的非常好.我们用下面的图示结构展示今天所学：

设计意图：参透学习的境界，正是将武侠小说中“如何习武”与数列学习中“如何复习”紧密的连线，层层递进、螺旋上升，既有浓郁的文化气息，又不失数学形式化的味道，两者具备共性的本质联系让课堂教学达到顶峰.从学科素养的角度来说，学习本课的主要目的，在于管窥学习的一个过程，让学生获得学习的一类方式是学习的关键，以此渗透数学学习的学科素养.

二、教学反思

1.生本意识，立足可动

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”可以这么说，没有学生参与的课堂教学是低效的、无能的，而学生能否真正参与进来，立足两点：其一教师肯不肯在教学设计环节为学生设计探究时间，合理的设计可以保障探究的有效性.其二课堂教学环节中问题选择的合理性，从心理学角度来说，适合学情的问题设计是学生积极参与探究的关键.

本课笔者为学生的“动”设计了两个平台.其一，在“基本招式”环节，通过问题设计、学生自主回顾求和基本方法为整个课堂定下积极参与、主动探求的基调.其二，在问题创编环节，发挥学生无限创造力，感同身受的体会热点问题考查就在我们身边，只要积极思考、发展思维品质，真正地做到课堂属于学生、问题来自自我思考，恰如爱因斯坦说的：提出一个问题往往比解决一个问题更重要！

2.建立观念，渗透文化

借助走遍大江南北的中华武侠文化，本课合理地整合了武侠精神和学生学情，将武侠文化与数学教学进行了有效的融合，通过问题研究的不断提高、螺旋上升，促进学生复习视角的延伸和知识整合角度的思考，既建立了如何让学习不断进步的良好观念，也感受了蕴含在武侠小说中的人生之道.

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.”数学之美，低端欣赏在于视频、图片等“美观”层次；数学美的“高端”欣赏在于和人文意境的沟通，本课融入武侠中的“习武”悟性，更多属于意境的沟通与升华，不断在向学生渗透人生感悟、让学生懂得欣赏数学中的生活哲理，用数学的眼光来感受生活.

3.注重细节，精益求精

课后笔者也对细节进行了全面的剖析与点评，认为在某些方面存在改进的空间：

（1）问题8的设计是败笔，本课在问题6、7后达到课堂教学的顶峰，若此时让学生介入试题命制更能让课堂达到思维的高峰，此处的问题8画蛇添足，反而降低了课堂的精彩程度.

（2）问题7的教师引导过程稍显抽象，特别是如何阐述奇偶项在原数列中所处的位置，教师的引导、分解还需要细化：若能以换元思想介入，如则教学过程显得更为完美.

（3）问题8、问题17的表述还需要进一步完善，考虑到数列中的项是不连续的，因此“求｛cn｝前n项和Tn的取值范围”的表述不够精准，改为“求证”更为恰当.

（4）点评环节设计不足，既然学生积极参与问题的编制，在后期学生解决、点评环节更需要学生的积极参与，可以设计诸如：“你最喜欢哪些同学创编的问题？”“为什么呢？”等等，让参与过程做到更为自然、让学生的交流更水到渠成.

4.反思感悟，凸显真经

本课所采用的复习课教学设计以问题条件共背景的形态展开、以多达十七个问题串的形式给出（部分问题课后继续探究），采用探究和讲授结合的教学方式，在课堂教学过程中，颇有“百家争鸣”的味道！于大而已，有春秋战国的百家争鸣，于小而已，有今天好声音舞台上的歌者呈现不同曲风的尝试，都在做一些多元化的探索.笔者认为，若将本课用连堂课的模式进行，效果会更佳！也可以采用陶行知先生提出的“小先生制”做一次探索尝试，让复习课教学呈现多元化的尝试和思考.

多年的教学经验告诫笔者：课堂教学不仅在于应试，更要有高一层次的境界追求，这也是教师专业化发展对于教师课堂教学水平、教学艺术的一种提炼，让课堂既要脚踏实地、也需仰望星空，这样的复习教学才让学生的思维有“悠然见南山”的成长！因此，在复习教学中多尝试一些不同教学理念的渗透、文化的融合，将其运用到教学实践中，让复习课关注高效、让探究讲求真实、让教法选择自然、让复习课堂注重深度和广度，使课堂教学能够达到一种自然而不做作的教学意境.

1.罗展华.东临碣石以观沧海——一次说题活动的尝试与感受［J］.数学教学通讯，2016（9.

2.吴成海.数学教学设计应着力于思维培养［J］.中学数学（上），2014（8）.

3.沈恒.课堂教学行走在“两极”之间［J］.中学数学（上），2016（5）.