浅谈数学思想在高等数学中的应用

张卿

摘 要：数学在社会、经济、生活中的应用越来越广。数学对人的理性思维和智力的发展起着举足轻重的作用，而数学思想是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁，因此，高等数学教育不仅要重视知识的传播，更要注重数学思想、方法的介绍，在教学中让学生感悟数学思想，提高学生的数学素养。

关键词：数学思想 高等数学 应用

中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）12（b）-0-02

1 问题的提出

随着高校连续扩招，高等教育从精英型向大众化转变，在我们的数学教学中听到学生说到最多的一句话是：“学数學到底有什么用”？的确，大学数学内容大部分还是18、19世纪的数学，课程内容强调数学知识的连续性和严密的逻辑推理，但形式化和严格化的知识体系不是我们要教给学生的最本质的东西，最本质的应该是数学的思想，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识、数学经验活动和应用技能。著名数学教育家、学者米山国藏曾说：“不论是科学专家、技术人员还是从事数学教学的教师，数学最高的追求是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是次要的”[1]。因此，高等数学教学中既要重视知识的传授，更要重视数学思想的渗透。

2 数学思想的内涵

邵光华教授认为：“从数学教育方面来讲，数学思想应被理解为更高层次的理性认识，那就是对于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括”[2]。而所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，换言之，数学思想是人们认识、理解、掌握数学的意识，它主要包括函数思想、数形结合思想、分类与分步思想、归纳类比思想、转化归纳思想、概率统计思想等数学思想。这些思想在高等数学中有着广泛的应用，它们的应用体现了数学的探索精神和唯物辩证、创新进取精神。

3 数学思想在高等数学教学中的应用

3.1 注重类比思想的运用，让学生掌握知识间的联系

类比思想是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推知它们在其他方面也可能相似或相同的一种思想方法[3]。它为人们的思维过程提供了广阔的天地，是一种常见的数学思想。比如高等数学研究的主要内容是微积分，主要是一元微积分与多元微积分，相对于一元函数微积分，多元微积分的内容有与之相似之处，因此，授课中注意复习已学知识，多使用类比的数学思想，降低难度。比如讲到邻域、多元函数的概念、多元函数的极限、连续、偏导、积分等概念时，形式上与一元相似，因此授课过程先复习一元的相关知识，通过类比得到多元函数的相关概念，这样既复习了已学知识，又便于掌握新知识，会收到事半功倍的效果。由于多元函数是一元函数的推广和发展，又会多出一些新的问题，内容上更为抽象和复杂，授课中多对比，复习一元函数在一点连续、可导、可微的关系，再类比多元函数在一点连续、可导（偏导存在）、可微的关系，通过类比发现它们的相似与不同，从而更好的掌握所学知识。

3.2 注重数形结合思想的运用，使知识化难为易

数学研究总是围绕着数与形来进行的。数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个主要研究对象。所谓数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，其关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在数学题目中，为了将问题简单化，经常将数学图形与数量关系相互转化。积分学是高等数学的一个重要内容之一，涉及到定积分，重积分、线积分、面积分，利用对称性来计算这些积分是一种常用的方法，能大大简化计算，而这里的对称性就是利用其几何意义结合积分区间（区域）的对称性及被积函数的奇偶性得到的，利用好这点对大大简化某些积分的计算，更好地掌握积分的知识。比如计算定积分一般情况下通过三角代换求得，比较麻烦，但借助几何意义可知它表示半径为的1/4圆的面积，这样容易求出。再有求抛物线与直线所围平面图形的面积，解这种问题关键画出所围平面图形，因此首先解得它们的交点，再画出图形，转化为定积分求解。这种结合交点画出图形正体现的数形结合思想，可见运用好数形结合思想，可以大大提升解题速度，开阔解题思路，培养学生的发散思维。

3.3 注重辨证思想的运用，培养学生辩证唯物主义的世界观

高等数学蕴涵着极其丰富的辨证思想，主要体现在宏观与微观、有限与无限、变与不变等。因此在教学中，教师若注重辨证思想的运用，处理好教学中各种矛盾之间的辨证关系，不仅有利于培养学生的辨证思维能力，更重要的是有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观。比如：无穷级数在收敛的情况下其和为有限值，曲边梯形的面积通过以“直”代“曲”求得，变速直线运动的路程通过以“不变”代“变”求出等，高等数学中这样的例子比比皆是，体现了有限与无限、直与曲，不变与变等辩证思想。因此，在高等数学教学过程中，注意以辨证法为指导思想，正确处理好教学中各种矛盾之间的辨证关系，从而使学生更好地理解、掌握所学知识，使学生的辨证思维能力得到训练，提升教学效果。

3.4 注重概率思想的运用，开阔解题思路

概率思想也是一种重要的数学思想，所谓概率思想就是将所研究的问题转化为用概率的知识解决问题的一种思想方法。有些高等数学的问题直接用高等数学的计算方法很难解决，即便能够计算出结果，步骤也相当繁琐，但是如果应用概率思想往往使复杂的问题变得迎刃而解。

比如计算广义积分如果按高等数学的方法求原函数的增量的极限很难凑效，但我们知道被积函数

乘以就为随机变量正态分布的概率密度函数，这样

就可以由密度函数的规范性容易求解，正

所谓山重水复，柳暗花明。可见，适时渗透概率思想，既开阔了解题思路又提高我们的思维品质、激发学生学习的积极性。

3.5 注重极限思想的运用，将复杂的问题简单化

极限是研究高等数学的一种重要方法，贯穿高等数学知识体系的始终，也可以说“高等数学就是用极限思想来研究函数的一门学科”。因此，极限思想在高等数学中处处可见。所谓极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种重要思想。高等数学中从数列极限定义的引入——刘徽的割圆术，到导数的定义、定积分的定义，级数的收敛问题、线面积分、重积分等等无一不留下极限思想的影子，利用极限将看似无法解决的问题转化为能解决的问题。

除了以上谈到数学思想外，建模思想，化归思想等也是高等数学中重要的数学思想。因此，在高等数学教学过程中要结合教学内容引导学生感悟数学思想，使其在日后的深入学习及实际解题过程当中能够潜移默化地运用数学思想方法，养成良好的数学思维方式，提高学生的综合素养。

参考文献

[1] （白）米山国藏，著.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，美素华，译.成都：四川教育出版社，1986：27.

[2] 邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009：138-139.

[3] 张友梅.类比思想在高等数学教学中的应用[J].开封教育学院学报，2014（4）：124-125.