细研教材 对接高考 培育核心素养*

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(金陵高级中学，浙江 长兴 313100)

笔者仔细分析了近年来浙江省数学高考中的几道试题，通过与考生的交流并结合教材(人教A版)进行了深入研究．高考是教学检测最重要的手段，分析考试结果,剖析问题根源,反思教学得失，进而明确教学方向与改进教学措施，在以后的教育和教学中培养学生“如何运用教材，如何进行课堂思考，如何进行课堂探究”．在教育教学的各个环节落实数学的“核心素养”[1]，使学生成为善于认识问题、善于思考问题、善于解决问题的人才．

1 立足教材，强化探究

例1设函数f(x)=sin2x+bsinx+c，则f(x)的最小正周期 ( )

A．与b有关，且与c有关

B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关

D．与b无关，但与c有关

(2016年浙江省数学高考理科试题第5题)

该试题主要考查利用三角恒等变换(降幂公式)化简函数f(x)，再判断b和c的取值是否影响函数f(x)的最小正周期．此题给我们一种开放式探索问题的感觉，虽然难度不大但也颇具新意，那么面对这样的考题学生有什么感觉呢？据笔者交流的几个学生反映，当时非常懵，有点不知所措,虽然取特殊值的方法可以顺利地解决这道题，但是出题人的真正意图是什么并不清楚.

我们翻开人教A版《数学(必修4)》第35页例2：

例2[2]求下列函数的周期：

1)y=3cosx，其中x∈R；

2)y=sinx，其中x∈R；

紧接着教材给出一个思考题：你能从例2的解答过程中归纳一下这些函数的周期性与解析式中的哪些量有关吗？然后，教材还设置了对周期公式的探究．

这个“思考”值得我们深思，这不就是高考题的题根所在吗？我们在教学时是否按照教材让学生进行了思考和探究呢？如果我们没有根据教材在课堂中设置探究，那么很多学生将会失去对于周期性与系数关系的理解，面对这样的高考题很容易慌了手脚．因此在新授课时，我们一定要紧跟教材，强化探究．在高三复习课时,我们需要回归教材的地方就是这一类问题．再如：

例3若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M-m( )

A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

(2017年浙江省数学高考试题第5题)

通过这样的教育教学方式，可以培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养和能力.

2 反思教材,“按图索骥”

(2016年浙江省数学高考理科试题第15题)

参考答案运用绝对值三角不等式[3]得

|a|2+2a·b+|b|2≤6,

故

考生在看到参考答案后十分震惊：解答这么简洁，我怎么没有做出来，绝对值三角不等式居然这么用．学了那么多向量的知识最后就考了这么一道题目．

从解答来看，例4主要考查平面向量的数量积及绝对值三角不等式的应用．那么我们不禁产生疑问:这道题只有这么一种解法吗？对学生而言是不是太难了，或者技巧性太强了?

通过对教材内容的反思，我们不难发现：从教材的编排来看,向量的数量积的核心数学思想应该是“投影”，而例4的入口却是绝对值不等式．通过反思和对教材的再阅读，我们不难发现人教A版《数学(必修4)》第104页的练习： (a+b)·c=a·c+b·c.教材上还给出如下证明：

|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2.

从而|c|·|a+b|cosθ=|c|·|a|cosθ1+|c|·|b|cosθ2,

于是

(a+b)·c=a·c+b·c.

图1 图2

这道题目的证明给笔者一个很大的启示，根据教材的证明方法对例4分析如下：

由极化恒等式

及

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=10，

得

不难发现只要(a+b)2取到最大值即可．

由题意对于任意的单位向量e，

当且仅当a+b与e共线时,上式取到等号．

通过这个例子我们可以培养学生数学建模、数学运算方面的核心素养和能力．

3 用好教材，推陈出新

那么如何才能很好地运用教材呢？通过仔细研读教材，我们发现其中蕴含这样的主线条：首先根据学生的“最近发展区”，创设出适合学生学习的情境，然后逐步帮助学生建立概念模型，最后在现实情境中进行应用.

图3

例如：我们在学习“等差数列”一课时，教材在引入部分不厌其烦地给出了“每隔5数数、奥运会举重级别设置、水库定期放水的水位、银行年末本利和”这样4个例子，让学生体会等差数列的特点，而且在练习中又出现了6个以实际背景为主的等差数列问题.我们不难发现这节课的教材用意很明确，就是要让学生充分认识等差数列的概念，即说明这个概念的重要性.其实从2016年浙江省数学高考理科试题第6题可以得到验证：

例5如图3，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且

|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,其中n∈N*,

|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,其中n∈N*,

其中P≠Q表示点P与点Q不重合.若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积，则 ( )

(2016年浙江省数学高考理科试题第6题)

这道考题从实际问题入手，要求考生分析出题目考查的本质，学会数形转化，将图像变化中的不变量和变量很好地区分开来，从而找到等差项，顺利解决该题.

教师还要对教材进行创造性地使用，例如对教材的见解要深刻和独到，对教学的思路和设计要独特，及时增删、延展复杂多变的教育情景．

再如：教材第3.3节“二元一次不等式(组)与简单线性规划”一课中，在判定Ax+By+C>0表示的是直线的哪一侧平面区域时，用的是将特殊点作为测试点的方法，这种方法就有局限性，像ax+y+1>0这样的不等式就很难判断，因此我们就要拓展知识，将不等式进行变形：y>-ax-1，然后让学生观察y>-ax-1与y=-ax-1的图像，不难理解：ax+y+1>0表示的平面区域是直线y=-ax-1的上方.

通过这样的教育教学方式,我们可以培养学生数学建模、数学运算等核心素养和能力.

教材作为知识、思想方法的载体，承载着无尽的功能，我们要树立正确的教材观，敬畏教材，开发与利用好教材，充分发挥教材的示范功能[4]．教材是培育学生数学核心素养的摇篮，教师作为耕耘者，既要尊重教材、立足教材，又要合理地读懂教材、审视教材，然后创造性地使用教材.

数学教育的核心任务是“数学育人”，在课程教材中要把它体现出来，在课堂教学中把它实施下去．笔者通过研读教材、对接高考，将数学学科核心素养“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”这6个方面在数学教育的各个环节贯彻并落实，从而更好地提高学生的学习效率和学习效果．

[1] 钟启泉.基于核心素养的课程发展:挑战与课题[J].全球教育展望,2016,45(1):3-25.

[2] 中学数学课程教材研究中心.普通高中数学课程标准实验教科书·数学(必修4)[M].北京：人民教育出版社，2004.

[3] 周顺钿.绝对值三角不等式的基本模式及其应用[J].中学教研(数学)，2017(3):16-20.

[4] 郑良.回归教材揭本质,学会思考扬理性——三道试题解答引发的思考[J].中学数学,2016(13):43-46.