一道“电磁感应”易错题的解法探析及教学反思

王红娟+薄宏超

摘要：应用数学公式与图象相结合的方法规范研究一道“电磁感应”易错题目的两种解法，分析易错原因并提出教学建议.

关键词：电磁感应；柯西不等式；均值不等式；教学反思

题目如图1所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等、质量不等的相同材料制成的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，线圈Ⅰ粗细均匀，线圈Ⅱ粗细不均匀.两线圈在距磁场上边界h高处由静止开始自由下落，再进入磁场.运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界.两线圈进入磁场过程中通过线圈Ⅰ和线圈Ⅱ的电荷量分别为q1、q2，运动的时间分别为t1、t2.则（）

A.q1与q2可能相等B.q1一定大于q2

C.t1与t2可能相等D.t1一定大于t2

解析线圈进入磁场过程中通过线圈的电荷量q=It=ERt=ΔR=Bl2R，显然通过两线圈的电荷量大小关系由电阻决定，对于线圈Ⅰ，R=4ρlS（ρ为电阻率）；对于线圈Ⅱ，假设质量较大，如果粗細均匀，则S=m4ρ′l（ρ′为密度）较大，R较小，q较大，即q1q2.显然q1与q2可能相等，选项A对B错.线圈先自由落体运动然后以相同的初速度进入磁场，进入磁场过程中受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力，依牛顿第二定律有a=g-B2l2vmR，可见两个线圈质量m的大小关系未知，电阻R的大小关系未知，所以加速度大小关系不能比较，t1与t2大小关系不能比较，选项C对D错.故答案选择AC.

高三复习过程中遇到此题，笔者所带班级（本校尖子生班级）所有学生甚至很多一线老师的解题思路和参考答案无异，选择AC，正确答案真的是AC吗？上述解析中关于电荷量的分析是正确的，问题出在了时间的比较.下面用均值不等式和柯西不等式两种方法分析两个线圈进入磁场所用时间的关系.

方法一均值不等式

分析设线圈边长为l，质量为m，电阻为R，电阻率为ρ，密度为ρ′，制作线圈所用导线横截面积为S.

线圈开始进入磁场瞬间的速度v0=2gh

线圈进入磁场过程中，受竖直向下的重力和竖直向上的安培力，规定向下为正方向，依牛顿第二定律有mg-B2l2vR=ma，得a=g-B2l2vmR.

对于线圈Ⅰ，m1R1=4ρ′lS1·4ρlS1=16ρ′ρl2

设想有一与线圈Ⅱ材料相同、边长相等、粗细均匀的线圈Ⅲ，

对于线圈Ⅲ，应有m3R3=m1R1，所以a1=a3.

线圈Ⅰ与线圈Ⅲ运动情况完全相同，时间相同t1=t3.

现比较线圈Ⅱ和线圈Ⅲ进入磁场过程的运动关系即可知线圈Ⅰ和线圈Ⅱ进入磁场过程的运动关系.

对于粗细不均匀的线圈Ⅱ，假设导线是由n（趋近于正无穷的整数）段极短的长度为Δl的导线连接而成，有n·Δl=4l，横截面积分别为Sx1、Sx2…Sxn，

m2R2=m2·ρΔlSx1+ρΔlSx2+…+ρΔlSxn≥m2·nnρΔlSx1·ρΔlSx2…ρΔlSxn

当且仅当ρΔlSx1=ρΔlSx2=…=ρΔlSxn时不等式取“=”，即需要1Sx1=1Sx2=…=1Sxn=1S3

m2R2≥m2·n·ρ·ΔlS3=m2·4ρlS3=m3R3

所以m2R2≥m1R1

结合a=g-B2l2vmR定性作出线圈进入磁场过程中的v-t图象，具体可分四种情况讨论：

第一种情况，进入磁场瞬间g>B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2，所以a2>a1>0，两线圈都做加速度减小的加速运动，v-t图象如图2所示.

第二种情况，进入磁场瞬间g=B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2，所以a2>a1=0，线圈Ⅰ匀速运动，线圈Ⅱ做加速度减小的加速运动，v-t图象如图3所示.

第三种情况，进入磁场瞬间B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2>g，所以0>a2>a1，两线圈都做加速度（大小）减小的减速运动，v-t图象如图4所示.

第四种情况，进入磁场瞬间B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2=g，所以0=a2>a1，线圈Ⅰ做加速度（大小）减小的减速运动，线圈Ⅱ匀速运动，v-t图象如图5所示.

根据“v-t图象与坐标轴围成的面积表示位移”容易得出上述四种情况下：t1>t2

方法二柯西不等式

与方法一相同的分析过程略，以下只列出分析m2R2与m1R1大小关系部分.

设线圈Ⅱ的导线由n（趋近于正无穷的整数）段极短的长度为lx1、lx2…lxn，对应横截面积分别为Sx1、Sx2…Sxn的导线连接而成，有4l=lx1+ lx2+…+lxn，

m2R2=ρ′ρ（lx1Sx1+lx2Sx2+…+lxnSxn）lx1Sx1+lx2Sx2+…+lxnSxn

依柯西不等式（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时，不等式取“=”.

m2R2≥ρ′ρlx1Sx1·lx1Sx1+lx2Sx2·lx2Sx2+…+lxnSxn·lxnSxn2

当且仅当Sx1=Sx2=…=Sxn时，即导线粗细均匀时上述不等式取“=”，

所以m2R2≥ρ′ρ（lx1+lx2+…+lxn）2=16ρ′ρl2，即m2R2≥m1R1.

综上所述，此题的正确答案应为AD.

为什么众多的老师和学生会选择AC呢？本题中，很多学生看到了两线圈质量m无法比较、电阻R无法比较，便急于选出答案，没有对mR这一乘积的大小情况做出正确的分析与判断.凭经验、感觉做题已经成为很多中学生的常用解题方法.遇到问题，不能理性对待，不能准确挖掘隐含条件，在没有列出物理公式或数学推导过程的情况下，仓促下结论是失分的重要原因.在当前激烈竞争的大环境中，为避免学生无谓的失分，教学中还是应该从考试大纲中要求的物理学科五大能力入手，着重关注培养学生的分析、综合、判断、推理等理性思维能力.教学中要给学生独立探究、思考的空间与时间，教师是学生学习活动的参与者，要积极参与到学生的思维活动中去，但不能取代学生的思维过程.要让学生主动探究知识的产生、形成过程，从对现象的分析归纳中获得对事物本质的规律性认识.课堂教学的每一个环节与过程都应时刻注重培养学生严谨、求真的态度.课堂的每一分钟都应践行知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维目标的达成.