转化思想在高中数学中的运用

欧阳昱焘

摘要：如今，高中数学知识的涵盖范围在增大，考查程度在加深，题型也更加多变，题海战术已经不适合现阶段的学生学习。转化思想就是把问题从某一种形式转化为另一种形式，在诸多数学解题思想中，它是一种重要的思想方法，有助于学生运用已知的题目解决未知的问题，从而减轻学习负担，加深对数学知识的认识。

关键词：高中数学   转化思想   运用

由于初中数学知识较少，考点比较单一，题型固化，学生用统一的思维模式去学习即可应对考试。但是，高中数学不仅知识量增多了，独立性增强了，而且比初中课程的学习难了许多，如果学生一味地做题，而不用数学方法去解决新的问题，将严重影响学习效率。转化思想正适用于高中数学的解题，它可以将抽象问题转化为具体问题，将复杂问题转化为简单问题，将没有做过的题目转化成会做的题目，以帮助学生减轻负担，提高数学学习成绩。

一、转化思想在圆锥曲线中的运用

圆锥曲线是近年来高考数学的核心内容，所占分值较多，且解题难度较大，是很多学生最头疼的部分，而其解题难点在于如何将图形问题转化为数学问题。

例题1：在平面直角坐标系中，

椭圆的方程为，以原点

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

，求椭圆上的点到

直线距离的范围。

解答：将化为参数方

程，（θ为参数），直线

的普通方程为，椭圆上点P（，）到直线

的距离为

，最大值为，

最小值为，所以椭圆上的点到直线距离的范围为[ ， ]。

在这一道例题中，学生需要先将椭圆的直角坐标方程转化为参数方程，再将椭圆的参数方程带入直线方程。接下来是很多学生容易出错的地方——求带参数的距离公式的最值。实际上，这就是求三角函数最值的问题。

二、转化思想在不等式中的运用

不等式的問题一般是高考最后一题的最后一问，它的重要性不必多言，这道题目是拉开学优生与普通学生的关键。下面，笔者以2018年河北省高考数学题为例，对这一问题进行分析。

例题2：已知函数f（x）=-

x+aInx，且知若f（x）在

单调递减，在

单调递增。若

f（x） 存在两个极值点x1，x2，证明：

。

解答：由题目可知，当且仅当 a>2时，f（x）存在两个极值点。

由于f（x）的两个极值点x1，x2满

足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，设x1<

x2，则x2>1。而

，所以等

价于-x2+21nx2<0。

设函数g（x）=-x+2Inx，由题

目可知，g（x）在（0，+∞）单调递减，

又因为g（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，g（x）<0。

所以，即

。

刚看到这道题目时，很多学生会感到毫无头绪，因为他们对高考数学最后一题具有天然的畏难情绪，导致他们对题目不敢下手。其实，解题的关键在于将不等式的问题转化为利用导数求最值的问题。若等式左边的最大值比右边小，则

成立。

三、转化思想在三角函数中的运用

三角函数在高中数学中运用广泛，因其公式较多，解题方法多变，很多学生将其视为洪水猛兽。运用转化思想，实现正余弦函数的相互转化是解题的关键。以2018年北京市高考数学题的其中一问为例，解析转化思想在三角函数中的运用。

例题3：在△ABC中，a=7，

b=8，cosB=- 。（Ⅰ）求∠A;

解答：在△ABC中，

∵cosB=- ，

∴B∈（，π），

∴sinB=。

由正弦定理得

=，

∴sinA=。

∵B∈（，π），

∴A∈（0，），

∴∠A=。

在解这道题时，学生应先将正弦函数转化成余弦函数，再运用正弦定理求得∠A的正弦值。因为正弦函数在第一、第二象限的值都为正数，所以需要先判断∠A是钝角还是锐角，再得出结论。此题中已知∠B为钝角，所以∠A为锐角，进而求得∠A= 。

四、转化思想在概率计算中的运用

近年来，概率计算问题一直是高考数学必考的大题，该题型更侧重于考察学生的逻辑思维能力和分类能力。但是，一些题目要求分类繁多且不能有遗漏，难度过大，这时可以运用转化思想，将困难的、种类繁多的问题转化为简单、容易计算的问题。下面，笔者列举其中一种题型进行说明。

例题4：甲、乙、丙三人进行射击且只射击一次，已知每个人击中目标的概率都是0.7，试计算至少有一人击中的概率。

解答：设事件A为甲击中目标，事件B为乙击中目标，事件C为丙击中目标。则至少有一人击中的概率为：

这道题如果按照题目要求直接分类计算，需要分别算出有一人、两人、三人射中目标的概率，且如果三人射中目标的概率不相等，则计算有一人射中目标时又需进一步分类甲、乙、丙射中目标的情况;计算两人射中目标时，需要分甲乙、乙丙、甲丙射中目标的情况。如果学生直接计算，极有可能分类不全，这时就算思考全面，在计算时也容易出错。转化思想在这一问题上的优势就尤为突出，如果将“至少有一人击中”转化为“1-对立事件”，则只需计算“一个人都没有射中”的概率，就可得出答案。

五、结语

文中列举了转化思想在高中数学中不同方面的运用，主要包括圆锥曲线、不等式、三角函数、概率计算这四个方面的运用，旨在体现转化思想在解题过程中化繁为简、化抽象为具体的重要作用。在诸多数学解题思想中，转化思想的重要地位不言而喻。在平时的考试和复习总结中，高中生应该注重分析和纠错，擅于发掘题干中不同条件之间的相互关联，反复训练转化思想在解题中的作用，以提高解题效率和解题准确度，达到提高学习成绩的目的。

参考文献：

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（作者系长沙市长郡滨江中学1606班学生）