数学史中的数学思想方法与数学教育研究

刘水强

(邵阳学院 期刊社，湖南 邵阳，422000)

一部数学史就是一部人类科学技术发展史，也是一部人类文明进步史。每一次数学的重大进步都标志着人类社会文明的发展。从欧式几何的形成到微积分到现代数学再到近代数学，从数学的三大危机到每次危机后的勃勃生机，无论哪个时空的数学波动都与其所处时空的科学技术、政治、经济、社会的进步和震荡同步感应，从数学的产生到实数公理化，从代数学、几何学的形成到数形统一，从博彩的娱乐到概率统计学原理，从微积分的发展到物理三大定律，从天文学到空间数学，从逻辑学到量子纠缠，从二位进制到计算机产生和应用，从几何画图到机械工程，从微分方程到生命科学等，无一不是经典故事。近现代生产技术、军事、航天科学乃至核科学，没有哪一项人类科学技术的发现、发明没有数学的身影，也没有哪一项领先的工具不是数学的应用。比如当代使用最为广泛的芯片技术，没有先进的算法跟进可能实现吗？又如高大上的航空航天科技没有轨迹运算同步可能成功吗？量子计算机的生产和通讯技术重大进步没有数学计算的同步跟进和算法的优势体现都是难以实现的[1-4]。

数学体系繁杂却自成一体，有其天然的严谨性、完备性，如同网络疏而不漏。现代数学分支很多，边缘学科发展很快，各领域应用广泛性超越了时空局限。如计算机技术、网络信息技术、控制论、规划论等，特别是量子技术的发展预示一场前所未有的人类科技的变革，体现了人类社会未来发展的不可测性[5-6]。

1 数学发展历程的三大危机及其成果

1.1 第一次数学危机及其成果

在公元前500年左右，因为发现了不可通约性而产生了数学的第一次危机，打破了古希腊以毕达哥拉斯为代表的唯心主义学派王国。导致这一危机产生的经典故事是勾股定理被证明，结果证明几何学的某些真理与算术无关，由此建立了几何学体系，产生了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。经过两千多年，到18世纪，高斯、希尔伯特、罗巴切夫斯基、波耶等大师们通过选取与平行公设相矛盾的其他公设，建立了非欧几何，形成了现代的几何公理体系[7-8]。

1.2 第二次数学危机及其成果

第二次数学危机是在17世纪至18世纪，因为无限小量的产生，即极限的严格化，如瞬时速度Δs/Δt，当Δt趋向零时的值，Δt是零又不是零，无穷小究竟是不是零的问题引起极大争论。经过半个多世纪的努力，经波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利、威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等一大批数学家的努力，建立了通用的ε-δ的极限连续定义，同时将导数、积分等概念严格地定义在极限基础上，从而克服了危机，建立了现代数学分析的基本体系，从而有了实数的公理体系，才有了20世纪的数学基础[9-12]。

1.3 第三次数学危机与及其成果

在第二次数学危机中基本上解决了数学的基础问题，极大地发展了极限理论与应用，数学家们构建并实践了包括数理逻辑在内的多门学科，同时大量地使用数学符号表达数学的运算和逻辑推理，简化了数学表达式，极大地推动了数理逻辑学的发展。随着逻辑学快速发展与应用，19世纪末至20世纪初出现了一系列逻辑悖论，如罗素悖论震动了整个数学界，产生了第三次数学危机，这次危机几乎动摇了数学的公理体系。经众多数学家的努力，数理逻辑终于完善。至20世纪，数学的公理体系趋于完备，数学基础趋于成熟，各种数学分支迅猛发展，其应用理论在社会各领域的广泛应用又极大地反作用于数学的进步，如计算机、网络信息技术，既依赖于算法，又推动着算法的进步，从而促进了计算数学与信息技术互为进步的格局，产生了超算。有限元理论等各学科的进步推动着规划论、运筹学的构建与应用，空间科学的建立又推动了航空航天技术的进步，数学成为推动科学技术进步的强力工具，从而极大地提高了科技生产力，推动人类社会文明的进步。

从公元前2000年左右的巴比伦数学，到欧式几何流行于欧亚大陆，从极限思想到微积分的产生、数学分析的完整，到计算机的产生、到量子技术的应用，在漫长而艰难的4000多年历程中，数学在人类社会进步的每一个阶梯上都有极其重大的业绩，仅从数学的三次危机来概述数学发展的三次质的飞跃，只是以孔窥大，以一斑而概全貌，起抛砖引玉之功效而已[7-8，13-14]。

2 数学史中包含的主要数学思想与方法

数学的发展历程长，有4000余年历史，几乎跨越整个人类发展的时空度，其内容的广度与深度是难以测量的，包含的数学思想与方法是多种多样的，但其主要的经典有函数思想、极限思想、化归思想三种重要的数学思想，用这三种思想来解决数学问题的方法称之为函数方法、极限方法、化归方法，是解决数学问题的三个重要工具。

2.1 数学中的函数思想方法

函数是数学的一个常用且广泛应用于其他学科的重要概念，其意义远远超出了数学界，经典的数学分析的主要研究对象就是函数。函数既是初等数学的主体，也是高等数学的核心内容。函数思想的建立使常量数学成就了变量数学，使数学用上了辩证法。物理、化学、经济、军事等多学科与数学结下了不解之缘，直至社会、军事等领域亦是如此：物体冷却，镭的衰变，树木的生长，人口的增长率等，它们的具体意义不一定相同，却适应于同一数学模型：

这个数学模型表明当αο，γ一定时，上述不同意义的问题抽象成同一关于时间(周期)t的函数。

函数思想的运用让许多复杂问题有了统一的处理方式，正如数学家F·克莱因(Felix Klein)所说，“教育家在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”[7-9]。

2.2 数学中的极限思想方法

研究函数的一个极重要工具就是极限，极限在现代数学中处处出现，是许多数学概念赖以建立的基础和分析问题、解决问题的重要工具，极限思想贯穿于整个数学的始终，它使数学真正成为了在各领域广泛应用的科学。从极限思想发展的历程看，大约经历了四个主要阶段：一是萌芽时期，我国庄子说“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，刘徽建立的“割圆术”，古希腊时期欧多克斯所构建的穷竭法等，都是这个阶段的极限思想代表；牛顿、莱布尼兹等数学家为代表创立的微积分，对极限的研究成果的应用极大地发展了极限思想，这一阶段为极限的发展阶段；由于牛顿、莱布尼兹对极限的叙述严密性不够，产生了一系列不能自圆其说的矛盾，如级数的收敛和发散应用过程中产生的悖论和不同意见的争论等，这一时期称之为极限的争论阶段；严密的极限思想是从波莱诺(Bolzano)、柯西(Cauchy)，阿贝尔(Abel)和迪里克莱(Dirichlet)的工作开始，而由维尔斯特拉斯(Weierstrass)进一步发展整理为一门完整的学科“数学分析”，这一时期，是十九世纪三十年代到五十年代极限概念严格化，即是现代数学分析中极限概念的严格化时期，也是微积分学发展的一个重要的里程碑[15]。正是极限思想和极限方法推动数学进步的同时广泛应用于天文、地理、物理、化学及各工程领域，强力推动了科学技术的进步和经济社会文明的发展。

2.3 数学中化归思想方法

数学中的化归思想有宏观与微观两方面的意义，其宏观意义主要体现在数学家区别于一般科学家思维的独到之处，是分析问题、解决问题，形成数学构想的方法论的依据；其微观意义是数学问题的解决过程是不断地发现问题、分析问题到归结为熟知问题或已解决问题的过程。数学史上，化归思想最有代表意义的作品是G·波利亚在1944年发表的《怎样解题表》，这张表集中体现了化归思想在解决数学问题上的精华。G·波利亚提出了数学解题思维过程的四个阶段：发现问题、分析问题(拟定计划)、解决问题(实现计划)和回顾。这四个阶段的思维本质是：理解、转换、实施、反思。在这张表中波利亚用了一系列的问题，启发你找到解题路径。这种思维过程的核心思想就是不断变换问题、连续地简化问题，把数学解题变成了问题的划归过程，最终归结到熟悉的基本问题予以解决，它的一般模式如下(图1)：

图1 问题解答逻辑图Fig.1 Logic diagram of problem solving

用化归思想解决问题的方法称为化归法，又称RMI原理，中学数学上有极广泛的应用，如几何代数学中常用的数形结合法，解方程用的消去法、换元法，计算中的复数法，证明方式的反证法及待定系数法、配方法、参数法、演绎法、数学归纳法等解题方式，都是化归方法的具体体现。

数学各个分支用化归思想来处理问题的方法很多，如数学分析中的换元法、三角函数积分的万能替换法等，与中学数学使用的化归方法解题的方式是一致的，仅举2例说明：

例1.用积分和概念判定函数是否可积，首先要判定积分和的极限是否存在，除了少数几个函数可以这样做以外，几乎很难办到，引入达布和，把同一分割下不定积分和化归为相对确定的达布和，建立了可积准则，用可积准则来判定函数的可积性则容易多了。

例2.无穷多个数的求和是没有办法解决的，但把无穷多个数求和化归为有限个数的极限求和则顺畅很多，并为解决数项级数的敛散性问题提供了帮助，从而有了判定数项级数敛散性的方法。

数学中的化归思想方法不仅是其他数学领域中发现问题、分析问题、解决问题的重要思想方法，其在物理学、社会学等其他各领域学科中也有广泛的应用。教好学好用好这一方法对培养和提高学生的数学思想和处理解决问题的思维方式水平，特别是帮助一年级大学生从中学思维模式进入大学思维方式找到了一个科学合理的衔接口，并对加深学生对中学数学的理解、学好高等数学和其他课程提供一个强力的思维方法工具[16]。

3 数学史启迪数学思想方法教育

在数学进程中，数学家对数学问题的发现、解答、求解过程无不体现了数学思维方式的重要性。数学史上教育的成败都揭示了的一个重要的教学规律是教学的教育性，即在教学过程中揭示教学知识的内在联系，发现思维规律，达到培养学生数学思维能力的目的。

数学史对传播数学思想及方法的运用是一个潜移默化的过程，体现在整个教学过程中。概念的形成、定理、推论的证明、习题的推导过程等，都是体现数学思想方法的过程。教师在这个过程中抓住机会，教会学生在数学概念的理解与运用的基础上逐步形成数学思维习惯，教会学生在发现问题、分析问题、解答问题的过程中学会数学方法与概念的运用，使二者互为运用，形成辩证的思维习惯[17]。

一部数学史体现的是数学家的思想方法的故事。大量的概念、定理、法则的运用都体现在教授的解题过程中，教师讲授课程中对数学思想方法的运用，会使学生在潜移默化中学会“想数学”“用数学”，只有这样学生才获得终身受益的思想方法，如柯西、牛顿等授课无不如此。

数学方法与数学概念是数学思想的高层次的具体表现。定义的表述，体系的严格性、完备性都靠老师在教学过程中体现，使学生触类旁通，养成解决问题的综合思维能力，是数学史对实践教育的重要启示。

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