立足学生困惑 寻求难点突破

李季龙

解三角形题目往往涉及的内容包括正弦定理、余弦定理及面积公式，且高考属于c级要求.在解三角形一轮复习中，教师一般只是重点强调正弦定理、余弦定理的边角互化，缺少对定理的深层次认识，以及对知识方法的融会贯通.大部分学生只是简单地套用定理，还没有形成一定的解题能力，在典型题目的认识上不够深刻，导致许多学生解题思路不对，计算量大且浪费时间，甚至算不出正确答案.

一、问题的发现与呈现

笔者在一次高三一轮复习周末练习中发现，有一道常规的解三角形题目得分情况不好，与在高考中必须得到的分数相距甚远.

（一）题目的呈现

已知△ABC的面积为S，AB ·AC = 3 2 S.

（1）求cosA;（2）若边长a，b，c依次成等差数列，求sinC的值.

（二）班上学生得分情况统计

得分（满分14分） 14 8 6 平均分

人數（43人） 4 16 23 7.49

（三）学生的答题情况统计

23名得6分的学生中，主要将第一问解答出来，即：由AB ·AC = 3 2 S得bccosA= 3 2 · 1 2 bcsinA，∴tanA= 4 3 ，又∵A∈（0，π），∴sinA= 4 5 ，cosA= 3 5 .第二问未写.16名得8分的学生大致情形分如下两种：

第一种情形：（化边为角）由边长a，b，c依次成等差数列，得2b=a+c，由正弦定理，2sinB=sinA+sinC，又由（1）知2sinB= 4 5 +sinC，由此思路受阻.

第二种情形：（化角为边）由（1）及余弦定理得 b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，由此思路受阻.

二、情况的调查

一道看上去不值得研究的“常规题”出现如此大的差异，而且全年级各班的情况相似.为什么会出现这种情况，是什么原因？是不是教师在讲课的时候没有讲解清楚呢？为此笔者在评讲练习之前仔细查阅学生的练习以及与部分学生交流他们在解答本题时的困惑，主要体现在：通常遇到的都是A= π 3 或A= 2π 3 等特殊角，本题cosA= 3 5 ，显然A不是常见的特殊角，对此感觉到不习惯，不知如何解决.

三、问题的分析与解决

（一）问题的分析

从学生的困惑中发现大部分学生对于cosA= 3 5 不知道如何转化，那么笔者在评讲练习时，首先从特殊角入手：在△ABC中，若A= π 3 ，你能得到哪些有用的关系式呢？通过与学生一起探讨分析，能得到如下答案：

若从角度出发，得到B+C= 2π 3 ， ①

C= 2π 3 -B或B= 2π 3 -C， ②

sinB=  3  2 cosC+ 1 2 sinC， ③

sinC=  3  2 cosB+ 1 2 sinB; ④

若从边出发，由余弦定理得到a2=b2+c2-bc. ⑤

那么，对于本题cosA= 3 5 ，又能得到什么样的关系式呢？根据上述对特殊角的分析，学生受到启发，类似得到：

从角度出发：sinB=sin（A+C）= 4 5 cosC+ 3 5 sinC， ⑥

及sinC= 4 5 cosB+ 3 5 sinB， ⑦

从边出发：由余弦定理得到 b2+c2-a2 2bc = 3 5 . ⑧

（二）问题的解决

通过由特殊角到一般角的分析，那么本题又如何解决呢？按照学生解答的第一种情形，此时不少学生能自主得到如下过程：

△ABC中，由（1）及B=π-（A+C），得

sinB=sin（A+C）= 4 5 cosC+ 3 5 sinC. （1）

又a，b，c成等差数列，有2b=a+c，通过正弦定理化简得到2sinB= 4 5 +sinC. （2）

联立（1）（2）两式，消去sinB，得sinC+8cosC=4，

再由sin2C+cos2C=1，

解得sinC= 12 13 或sinC=- 4 5 （舍去）.

如果按照学生解答的第二种情形，由余弦定理，得到 b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，又是如何解答呢？对此很多学生依然没有思路.

由于对该式的结构特征没有认真分析过，对解题方向不明确，学生容易产生思维障碍.由此首先对该式的结构应该有一个清楚的认识，然后突出运用方程思想分析问题.对于  b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，2b=a+c，  可以这样认为：两个关于a，b，c的方程，其中a，b，c共三个未知数，即a，b，c的解不唯一，但是a，b，c三者之间可以相互表示，若消去b，容易得到c与a的关系，c= 15 13 a，由正弦定理，可得答案.

故第二种情形解答过程如下： b2+c2-a2 2bc = 3 5 ，又2b=a+c，两式联立，消去b，得c= 15 13 a，由正弦定理，知sinC= 15 13 sinA= 12 13 .

四、巩固与反思

（一）巩固与提高

为进一步了解学生对于上述解三角形中边角互化的方法的掌握情况，笔者准备了两道变式题，让学生当堂解答，题目如下：

变式1  （巩固题）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且asinB=-bsin A+ π 3  .（1）求A;（2）若△ABC的面积S=  3  4 c2，求sinC的值.

（学生基本可以通过边化角或角化边的方法顺利得出正确答案）

变式2  （提高题）已知△ABC，∠C= π 3 ，且三边长a，b，c满足a2=b2+ 1 2 c2，求sin（A-B）的值.

解法1  （化边为角）由a2=b2+ 1 2 c2，∠C= π 3 及正弦定理，得sin2A=sin2B+ 1 2    3  2  2，

又在△ABC中，sinB=sin（A+C），

∴sin2A=sin2 A+ π 3  + 3 8 ，使用降幂公式及辅助角公式，得sin 2A+ π 3  =-  3  4 ，

而sin（A-B）=sin A-  2π 3 -A  =sin 2A- 2π 3

=sin  2A+ π 3  -π =  3  4 .

使用解法1的學生多数能够得到上述正确答案.

解法2  （化角为边）由余弦定理c2=b2+a2-ab，联立a2=b2+ 1 2 c2，消去c，得到a2+ab-3b2=0，学生发现不能十字相乘，若用求根公式，比较烦琐，思路受阻.

那问题又在哪里呢？注意到所求sin（A-B）=sinAcosB- cosAsinB，其中cosB，cosA由余弦定理可以用边表示，那么不妨将sinA，sinB借助正弦定理也用边表示试一试，然后再考虑能否利用条件解出答案.

解法2具体过程如下：由余弦定理c2=b2+a2-ab，联立a2=b2+ 1 2 c2，消去c，得到a2+ab-3b2=0，再由正弦定理 a sinA = b sinB =2R，得到sinA= a 2R ，sinB= b 2R ，

∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB= a 2R · a2+b2-c2 2ac -  b 2R · b2+c2-a2 2bc = a2-b2 2Rc =  1 2 c2 2Rc = 1 2 sinC=  3  4 .

当然变式2还有其他的解法，我们这里只从最基本的边角互化讲解，其他方法这里不再叙述.

（二）总结与反思

高三教学是一个复杂的过程，要注重适当引导，启发学生由所给条件自己想到如何去解.通过上述两道题目的分析，主要有两种方法，分别从边和角的不同角度认识问题，认识不同，解法自然相应不同.解题时，要注重看清问题的本质所在.

在三角形中，若给定一个具体的角，形如A= π 3 ，可以得到其正弦值、余弦值、另外两角的关系式（如①②），以及另外两角的三角函数关系式（如③④）;若给定的是角的某一个三角函数值，形如cosA= 3 5 ，可以得到另外两角的三角函数关系式（如⑥⑦⑧）;在边与角互化的同时，可以借助正、余弦定理，得到a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC，cosA= b2+c2-a2 2bc 等形式.注意：有时还需要借助三角形外接圆的直径，如由 a sinA = b sinB = c sinC =2R（△ABC外接圆直径）得到a=2RsinA和sinA= 2R a 等形式.

通过上述题目，笔者发现学生对于解三角形中两个定理的认识还仅仅停留在知识层面上，只是将现有的知识和方法进行简单的再现，反映出学生解题思路比较单一，解题过程中若碰到不熟悉的情况，往往不知道接下来如何继续进行，不能找到有效的切入点.所以，教师需要在了解学生的实际情况下，有针对性地讲解，真正让学生掌握解三角形中所给条件的有效转化，可以认清题目的本质所在，真正找到解三角形问题的源头，从而找到解题的快速有效方法.教师在教学过程中决不能就题论题，要通过适当的变式教学，激发学生的思维，引导学生思维走向深刻，以达到掌握解决题目的本质.