王晓丽 李玉明
【摘要】 一节好的数学课,能够培养学生创新能力和应用意识,也能让学生在感受数学魅力的同时,实现自身的可持续发展.一节好的数学课,也必然以问题为驱动,引导学生“发现问题—分析问题—解决问题”,构建知识,体验成功,实现自身的发展.
【关键词】 问题驱动;创新能力;应用意识;可持续发展
【教材分析】
本节课是学生在学习了数列的基本概念、等差数列的概念、通项公式的基础上展开的.从教材体系来看,它为后继学习提供了知识基础,具有承上启下的作用;就知识特点而言,它是从大量数学问题和生活实际中抽象出来的典型模型,在现实中也有着广泛的应用;就能力培养来看,公式推导过程中渗透的类比、化归、数形结合思想方法,都是培养学生应用意识和创新能力、可持续发展能力的良好载体.
【教学目标】
1.通过高斯的故事及堆放木材的实际问题,探究公式的推导过程及推导方法;
2.通过自我检测,进一步熟练记忆公式、运用公式;
3.通过例1及变式,能灵活运用公式“知三求二”;
4.通过自编题目及变式,认清公式中每个符号的意义;
5.通过推导公式、应用公式,体会从特殊到一般的思维方式,体会方程与函数的思想,感受数学魅力的同时,实现自身的可持续发展.
【教法、学法】
在教学设计上,采用以问题为主线,学生探索、交流与教师启发、引导相结合的教学方法,让学生在“问题”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中提升,在“探究”中创新.
【教学过程】
一、创设情境,引入课题
师:为快速统计木材数量,伐木工人通常将木材堆放成梯形.今天我们一起来探索其中的奥秘.(PPT1)
【设计意图】激发学生强烈的求知欲,体现数学的实用价值,让学生感到生活中处处有数学.另外,为类比记忆公式Sn= n(a1+an) 2 埋下伏笔.
二、师生互动,探究新知
师:还记得200多年前,10岁的“数学王子”高斯,怎样快速计算出1+2+3+…+100吗?(PPT2)
生:因为1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以和是101× 100 2 =5050.
师:这算法妙在哪儿?
生:“首尾配对”(“首尾配对”字眼,吸人眼球,引起共鸣).
师:说得太地道了!可以用你自己的语言说说“首尾配对”的实质吗?
生:(思考)就是把不同数的求和问题转化为相同数的求和问题.(此处有掌声)
师:你就是我们班的“数学王子”!
师:类比刚才的算法,谁能快速计算出图中木材的数量?(PPT1)
(学生独立思考后)
生:(1+2+…+25+27+…+51)+26=25×52+26.
生:(1+2+3+…+50)+51=25×51+51.
生:我感觉这么处理更简单:0+1+2+…+50+51=26×51.
师:真好!大家竟然把“首尾配对”演绎得这么巧妙,轻而易举地将奇数个项求和问题转化为偶数个项求和问题!
师:如果木材的层数是n层,木材数量1+2+3+…+n=?
生:我想应该“分类讨论”解决.
n是偶数时,“首尾配对”即可,1+2+3+…+n= n(n+1) 2 .
n为奇数时可变形配对1+2+3+…+n=0+1+2+3+…+n= n(n+1) 2 .
师:有没有更好的方法可以避免讨论?请小组合作探究.(第一次小组合作)
师:站在高斯这个巨人的肩膀上,我们探求出升级版的“首尾配对”.哪个小组可以在大屏幕上展示一下?
生:1+2+3+…+(n-1)+n, ①
n+(n-1)+(n-2)+…+1. ②
两式相加,可以发现
1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=…=n+1,
∴①+②得1+2+3+…+n= n(n+1) 2 .
师:是不是给这种方法起个恰当的名字呀?
(又是一石激浪,学生激情地争论着)
生:“倒序相加”形神兼备!
师:好!请静心思考:刚才小组合作的过程中,你的思维受到了哪些碰撞?
生:倒序相加求和的优势.
生:我发现结果是首项与末项的和乘项数再除以2.
师:很善于观察和总结!那么,任意等差数列{an},设其前n项和为Sn,
即Sn=a1+a2+a3+…+an=?(PPT3)
生:Sn= n(a1+an) 2 .(异口同声)
师:确定?(毕竟是猜测,有的学生底气不是那么足了)
生:加以证明就行.
(学生自主探究,教师巡视指導)
师:大家这么多好方法,先在小组里分享一下.(第二次小组合作)
师:请每个小组第三发言人在大屏幕上分享证明过程!
生:∵Sn=a1+a2+a3+…+an,
Sn=an+an-1+an-2+…+a1,
∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) n个 ,
∴Sn= n(a1+an) 2 .
师:真好!给大家说说这个过程涉及的知识.
生:上节课学习的性质:若n+m=p+q,则an+am=ap+aq.
师:活学活用!
生:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d],
Sn=an+an-1+an-2+…+a1=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an+(n-1)d],
∴Sn= n(a1+an) 2 .
師:折服于大家富有创造性的解法!其他的证明方法,大家课后继续交流.现在,对照木材图(PPT1),你能说出记忆公式的巧妙方法吗?
生:Sn的公式就是梯形的面积公式.(同学们相互嘀咕了一会,都投来赞许的目光!)
生:伐木工人的奥秘!
生:是呀…
师:请思考:在已知哪些量的情况下,我们可以求出Sn?你理解公式中各符号的含义吗?
(请数学能力相对较弱的同学回答.给他们展示的机会,保证他们也能吃得消,跟得上)
师:如果知道首项和公差d,你能求出an吗?求出Sn可以吗?请说出你的探究过程.
(自主思考后,请数学能力相对较好的同学板演,发挥他们的优点,带动其他同学成长)
生:Sn= n(a1+an) 2 , ①
an=a1+(n-1)d. ②
将②代入①得:Sn=na1+ n(n-1)d 2 .
师:现在等差数列前n项和公式有两种形式,你能说出具备了哪些条件就可以对等差数列进行求和?
(请数学能力中等的同学陈述.借此观察全班同学的掌握情况.)
【设计意图】绿色课堂主张“学起于思,思源于疑”.“问题”是引发学生积极探索、主动参与的导火索.由于等差数列前n项和公式的推导是本节课的重点,学生又是第一次接触数列求和,对学生来讲是个新事物.特别是探索与发现公式推导的思路是教学的难点.如果直接介绍“倒序相加”求和,有悖学生的认知规律.所以我以问题驱动,辅以小组合作的形式,循序渐进,层层深入引导学生“发现问题—分析问题—解决问题”,最终构建知识,体验成功,实现自身的发展.
在引导学生发现问题后,教师的任务是让学生的思维迅速发散,寻求解决问题的方法.我先让学生独立思考,只要学生有了自己的想法,肯定跃跃欲试地想表达出来,趁机鼓励学生大胆地畅所欲言.这时就可以水到渠成地提炼出倒序相加的求和方法;让学生感受数学对称美的同时渗透数形结合的数学思想.
在提供“合作交流”的机会时,教师要组织和指导学生将自己理解的东西表现出来和同伴分享,当然对有困难的小组要给予指导和鼓励.探究出结果后,鼓励小组代表在大屏幕上展示各自的方法及推导过程,其他小组点评、补充;教师给予肯定和鼓励,并做最后的点拨与总结.
在这里我想强调一个细节的问题:在实际教学中,由于受时间的限制,我们往往舍不得花时间在公式、概念的内涵上下功夫,比如,“你理解公式中各符号的含义”等等问题.但是这一环节很重要,尽管时间少,甚至仅仅是几句话,却有画龙点睛之妙用.学生数学思维的深刻性,广阔性等品质就得到了提高,也为自身的可持续发展打下基础.
三、新知形成,自我检测
师:准备好,挑战自我!限时5分钟!
(PPT3)已知等差数列{an}中,
① a1=5,an=1,n=30,sn= ;
② a1=29,d=2,n=20,sn= ;
③ a1=5,n=30,sn=390,an= ;
④ a1=20,an=54,sn=999,n= ;
⑤ d=2,n=37,sn=629,a1= .
(5分钟后,请数学能力相对弱的同学展示,保证人人会用公式)
【设计意图】凡是学生自己可以完成的事情,教师决不替代.这是5道不断变换条件、直接套用公式的题目,起到督促学生观察分析、套用和记忆公式的作用,也便于教师及时调整教学,更好地达成教学目标.
四、应用新知,强化训练
例1 等差数列{an}的公差为2,第20项a20=29,求前20项的和S20.(PPT4)
师:请大家先思考,自主验算后交流.
(题目难度不大,学生兴致很高,气氛热烈.用不同的方法,顺利拿下例1)
师:大家对公式的掌握很到位!请看变式(PPT5)
变式:{an}是等差数列,请根据表格中的已知数据,完成表格,限时5分钟!
题号 a1 d n an sn
1 0.5 0.5 8
2 27 -3 0
3 -2 -96 -2280
(5分钟后,请班上数学能力中等的两位同学对答案)
师:请重新审视表格中给出的数据,能发现什么规律吗?
生:有5个量,知道其中三个就可以求出另外两个.
师:这就是公式应用的重点“知三求二”.
师:请根据你对公式的认识,编拟2道题,和同桌交换练习!
(每个同学的热情很高涨,积极地交流探讨.有同学举手示意)
生:我同桌给我出的题目挺有意思的.我想在大屏幕上闪一下:3+5+…+(2n-1)= ?
师:谁能说说到底哪儿有意思?
生:这不是求前n项的和.
师:那是求前多少项的和?教师再给出两个这种类型的小题,看看大家能不能抓住题目实质.
(PPT6)
① 4+7+10+…+(3n-2)= ?
② 1+3+5+…+(2n+1)= ?
(前后四人小讨论,整理出答案)
师:从这组题目中你学到了什么?
生:不能死记硬背公式.
师:是呀,不能见n就代,想当然地套用公式,要注意n的含义.
【设计意图】例1及变式,属于“知三求二”的典型题目,也是本节课的重点.我特意设计了表格的形式,让学生恍然大悟:原来等差数列前n项和公式,就是一个关于an,a1,n或者a1,n,d的方程,不知不觉中把方程的思想渗透给学生,让学生解决问题的能力呈螺旋式上升.
学生自编习题的目的是让学生参与课堂,体验课堂,感悟课堂,享受课堂,实现可持续发展中的再创造!没想到把特别需要注意的基本量n引出来了.他们各抒己见,把课堂气氛又一次推向高潮的同时,对公式的认识由感性上升到理性,自身的发展也有了质的飞跃!
五、归纳小结,加深理解
师:本节课你学习了哪些知识?(请数学能力相对弱的同学回答)
师:你最大的体验是什么?(学生畅所欲言)
师:大家说的都很好.那你掌握了哪些学数学的方法?(畅所欲言)
【设计意图】绿色课堂,教师要引导学生从知识、方法、体验、兴趣等等方面进行小结,由特殊到一般进行转化,完成知识目标和能力目标.
六、课堂小测,检查效果(PPT7)
【设计意图】课堂小测是我们一中数学组一直坚持的.限定时间,训练学生的动手能力和运算能力.及时批改,跟踪检查,做到每节课的教学内容落实到位,力争堂堂清!
七、布置作业,升华提高
1.教材41页,A组2,3;B组2,4.
2.小组讨论:14,11,8,…前n项的和是多少?有最大值吗?是多少?为什么?期待下节课大家精彩的讲解.
【设计意图】布置弹性作业使各个层次的学生都有所发展.小组作业培养学生的合作意识与探索精神,这是学生实现自身发展的更高境界!