一道中考函数压轴题的一题多解赏析

☉湖北武汉市汉铁初级中学 冯 英

☉湖北武汉二中广雅中学 李鸿运

近年来，在全国各地中考压轴题的关键一问中，大多涉及二次函数与一次函数问题，本题就抛物线上一“特征点”的求法进行了深入探究，对已知条件中的“两倍角”问题这一学生感到棘手的难点进行多途径的突破，归纳出以下八种不同的解决方法，以飨读者.

问题：如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.点D为直线AC上方抛物线上一点，连接CD，使∠DCA=2∠BAC.若存在这样的点D，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

方法1：如图2.取AC的中点P，可得P（-2，1），直线OP的解析式为

过C点作DC∥PO交抛物线于点D.

则有：∠DCP=∠CPO=2∠BAC.

图2

图3

方法2：如图3.取点A关于y轴的对称点E，则E（4，0），连接EC并延长交抛物线于点D，则∠CAB=∠CEB，∠DCA=2∠CAB.

方法3：如图4.过C作CH∥x轴，过A作AH⊥x轴，两线交于H，作A点关于CH的对称点A′，连接A′C交抛物线于点D，∠A′CH=∠ACH=∠CAO，则∠A′CA=2∠BAC，A′（-4，4）.

图4

图5

方法4：如图5.在y轴的负半轴上取一点P，使OP=OC，则P（0，-2）.连接AP，过C作CD∥AP交抛物线于D，则∠CAP=2∠CAB=∠DCA.

方法5：如图6.连接BC.由OA=4，OC=2，OB=1，可得∠ACB=90°，取AB的中点M.

过A作AP⊥AC交CD的延长线于P，过P作PH⊥x轴于H.

图6

图7

求得D（-2，3）.

方法6：如图7.过D作DH⊥y轴于H，并延长交AC于P.

则∠DPC=∠CAB.

当∠DCA=2∠CAB时，有∠DPC=∠PDC，则tan∠PDC=

设CH=a，则D（-2a，a+2）.

方法7：如图8.过D作DM⊥x轴于M，交AC于G；过C作CH⊥DM于H.

∠DCA=2∠BAC，∠HCA=∠BAC，则∠DCH=∠ACH，则D、G关于CH对称.解得m1=0（舍），m2=-2，则D（-2，3）.

图8

图9

设CF=3a，则HF=6a，EH=4a，DE=8a，则D（-10a，2+

点评：在抛物线上求一个点的方法往往是由题意先求出过该点所在直线的解析式，再和抛物线方程联立，得到该点的坐标.以上8种方法中，方法1至5都是这一思想，不同之处是直线CD的构造方法不同，或者说直线CD上的“特征点”的选择不同而产生了5种不同的求特征直线的方法.方法6至8则是由边角关系得到点D的坐标，再代入抛物线的解析式中，从而求得D点的坐标.三角形相似和三角函数都用上了，各有特色，匠心独运，值得读者仔细琢磨、体会.有创造性的解法欢迎读者交流.