用数学史促进学生数学核心素养的主动建构*

☉江苏无锡市太湖格致中学 陈 锋

☉江苏无锡市东绛实验学校 薛 莺

一、问题的提出

随着数学教学回归本色，将数学史融入教学已悄然成为课堂一道靓丽的风景线，在数学教学中利用数学史将数学知识、方法、文化融为一体，不仅可以提升数学教学的有效性和趣味性，熏陶中国优秀传统文化，提升数学文化素养，而且可以帮助学生提高在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中去的能力，从而达到检测学生思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.但是如果仅仅是把数学史当作数学相关历史的简单介绍，是远远不够的，因为这样做无法有效提升学生的学习能力.那么，怎样才能更好地在数学教学中发挥数学史的功用呢？笔者以为，可以采用数学史更多元化地融入数学课堂教学，进而让学生在数学学习的认知、思维和境界上都有所提升.现结合笔者的课堂教学实践，来谈一谈自己在数学课堂教学中的一些做法，供各位教师参考.

二、数学课堂教学展示及效能分析

1.通过历史成因揭示例题本质，掌握基础知识，完善学生数学认知.

很多时候，学生在学习数学时，往往会产生这样的想法：“学这个东西到底有什么用啊？”学生一旦有了这样的想法但得不到解答时，就会觉得我们学习数学只是为了学而学，并无实际意义.于是，他们就会产生消极感甚至排斥感.要消除类似想法，可以借助数学史，依史说数学，解决学生的迷惑，并在解惑的基础上进一步提升学生对所学知识的理解与掌握.

（1）例题展示：.

我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了（a+b）n（n=1、2、3、…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）.请依据上述规律，写出的展开式中含x2014项的系数：______.

图1

（2）教学流程.

在学生观察、思考例题的基础上，教师通过“你知道杨辉三角吗”来激发学生的求知欲和学习兴趣，接下来教师介绍杨辉三角产生的历史，教师通过问题“你知道杨辉三角与二项和展开式的系数之间有怎样的关系吗”引导学生思考的方向和观察的角度.由此，学生凭借对杨辉三角这一数学史的了解，发现杨辉三角就是展开式的系数的规律，进而顺利完成问题的解答.最后教师对杨辉三角的数学史的知识进行拓展，让学生了解杨辉三角是开方做法的本源.

（3）效能分析.

在这一例题的教学中，教师通过介绍杨辉三角这段数学史，首先，回答了学生“为什么会产生杨辉三角”的疑惑，让学生感受杨辉三角具有言简意赅、准确直白的特点，进而体会数学学习与古代优秀文化成果的联系，再一次深刻感受民族文化的作用，产生学习的快感.其次，对二项和的乘方展开式形成整体认知：一方面通过史料的例子，学生可以很容易观察到二项和的乘方展开式的系数与杨辉三角的关系，学生的学习变得直观、明了，易于理解，而问题的解决也变得顺理成章，水到渠成；另一方面，可以培养学生的“数感”，让学生清晰地感知数学的形式美和简洁美.因此，依傍数学史来讲例题，既可以提升学生的认知，让学生在学习过程中不再迷惘，并且能够依靠数学史让学生对所学的知识有进一步理解，使其对数学教学的内容有更好的掌握，使数学思维过程简明、准确，从而更容易揭示数学对象的本质.

2.借助前人实践挖掘例题内涵，掌握基本技能，促进学生的数学思维.

数学这门学科有其本身的特点，它不只是教授知识，更是在培养思维：教会学生思考，教会学生怎样思考.在此时，往往可以借助数学史，让学生看到前人是怎样思考的，借助前人思考的方式解决问题，并且在前人的基础上更进一步.

（1）例题展示.

我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图2，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是________.

（2）教学流程.

学生看题、思考，教师直接让学生回答后，追问：“你如何做的？你的根据是什么？”让学生探究七进制进位方法的本质，接着通过“从图中你又了解到用什么办法来计数呢”“你了解结绳计数的典故吗”等问题，引出对最早的记数方法——结绳计数和石子计数的介绍，引发学生对数学来源于生活实际的认同，最后教师用“远古时期，为什么人们用满七进一，而不用满十进一”“你会用十进制来解决这个问题吗”“如果是你，你更愿意用几进制计数法”等一系列问题对例题进行引申，让学生进一步感受和体验进位制的“原形”.

（3）效能分析.

从这一案例可以看到，例题是以古代《易经》“结绳计数”为素材，按满七进一计算自孩子出生后的天数，来获得解决问题的途径.教师首先通过介绍历史典故，发现结绳计数法来源于生活实际，让学生感受到前人发明的“结绳计数法”是一项光辉伟大的成就，让学生理解数学文化，形成理性思维，同时能让学生感受我国古代数学的成就，增强爱国情怀.这种“逐一计数”的方法体现了数学“一一对应”的思想和“化繁为简”的转化思想.其次，让学生对计数法的进制进行探究，运用了类比的方法，让学生在探究中自然感受到“结绳计数法”，方法虽好，却有缺陷.在进一步的思考过程中，学生修正了前人的想法，弥补了结绳计数的缺陷，使方法更为完善，进而从数学的本源解决了这一问题.这正是借助前人的思维，来提升自己的思维.我们沿着前人的脚步前进，却并不固步自封，而是能在前人的基础上，更进一步.哪怕是一小步，也是一种超越前人的举动.这样不但可以训练学生的思维，也能够提升学生的自信心，而这两者，都是数学课堂上应该达成的任务.

3.对照文史资料拓展例题外延，发展数学情态，提升学生数学境界.

历史属文，数学是理.文科有文艺、感性的一面，理科则以逻辑、抽象的面目出现.这两者在课堂上如果能得到和谐统一，那么学生不但能学好数学，更能够提升自身的境界，感受数学的魅力，也体验到文学的绚丽.

图2

（1）例题展示.

我国古代有这样一首古诗“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何”.请求古诗中寓含的数学问题：葛藤的最短长度是_____尺.

（2）教学流程.

在学生阅读古诗的基础上，师生共同对古诗解读，因一丈是十尺，因此得到题意是：一根枯木竖立在地面上，该枯木的高为20尺，枯木底面周长为3尺，有葛藤自枯木底部缠绕而上，绕五周后其末端恰好到枯木顶部.求葛藤的最短长度.进而让学生明确题目的已知和问题，然后引导孩子根据题目的含意，把枯木看作一个圆柱体，画出相应的图画（如图3），接着教师追问：“如何解决求最短的长度这一问题？”引导学生首先把立体图形转化成平面图形，圆柱体沿侧面的母线展开是一个矩形，再在一个平面上求最短，利用直线最短和勾股定理即可求得.最后教师总结归纳在解决这个问题的过程中，用到了很多数学思想和方法.

（3）效能分析.

这一例题是一首古诗，把数学的问题撰写成诗歌，是我国古代特别的一种数学形式，学生从中可以感受到诗歌与数学美并存其间，这是一种文艺美.而数学又将无数的历史文学，化归抽象成公式运算，这是数学的逻辑美.首先，近年来很多数学中考试题选自于中国古代数学名著，如《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》等，其实不仅是中考试题，教材中也收集了中国古代数学问题，如“鸡兔同笼”“百钱百鸡”等，当然还有国外数学名题.其次，这些具有文化历史背景的题目，根据已学过的基础知识和思想方法再现探究过程，考查学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，同时可以不断地增强学生的创造力和数学学习的信念.再次，解答有历史背景的题目，可以展现数学的文化价值，唤起学生的情感，如数学家及其著作的重要成果能够唤起学生的民族自豪感和自主创新精神，经典历史原题、名人名题能让学生充分领略古代数学的思想精髓.寓教育于考试之中，挖掘数学文化内涵，即数学的精神、思想和方法.

图3

三、对数学史融入数学例题教学的思考

正如张奠宙教授所言：“学术形态向教育形态的转化，实现从冰冷到火热这一过程.”如果说数学从发明到呈现在教科书上，是“火热的发明变成冰冷的美丽”，那么，将数学史融入数学课堂，把富有诗意的内容添入数学课堂中，则让书上那冰冷的美丽又呈现出火热的诗意来.在这样的课堂上，学生不仅能学习数学，更能体验到数学史带来的美感，无形中也提升了学生的境界，开阔了学生的眼界.其实，学习数学的同时了解数学史，本应该如同学习语文名篇时掌握相关文学常识一样理所当然.可是在很多时候，由于“实用主义”，我们往往有意无意地把这些原本应该了解的内容忽略掉了.反过来，在数学史介入数学课堂之后，我们也应该沿着前人的脚步或借用前人的眼光去观察、学习、思考数学，并在前人的基础上力图有所升华.因此笔者认为教师要把握好以下几点：

1.数学史的选择要有“度”.

在数学例题教学中引用数学史时，数学史的选择要能紧扣例题，联系知识点，需要关注以下两个“角度”.（1）适合学生实际.数学史的引用要适合学生的现有学习水平、潜能、兴趣等因素.（2）把握例题的特点.不是所有例题都能引用数学史.这就要求教师对例题作深入钻研，因为它是提升例题教学有效性的基础.

2.数学史的引用要有“法”.

数学史的引用，离不开教师的引导，离不开例题作支撑，因此，教师引导的方式，教师是否适时、适度地引导，是数学史的引用成与败的关键.因此要注意以下两个“方法”.（1）要关注学生的差异性；尽可能满足学生自主发展的需要，在教师的组织和必要的引导下，显示学生自己的才华.（2）有些数学史不用探究，只要学生简单了解、教师讲解即可，而有些数学史为了今后能有效迁移，有必要进行延伸，让学生自主探寻和发现.

3.数学史的呈现要有“方”.

在数学例题教学中引用数学史时，数学史的呈现需要关注以下几个方面.（1）有些数学史学生都清楚，只要教师稍作提示即可.（2）有些数学史，学生已有所了解，需要教师必要的提示，再通过师生或生生之间的对话，互相启发、互为补充才能完成.（3）有些比较生僻，教师可以借助信息技术辅助展示.

综上可知，将数学史融入数学课堂，借助数学史进行数学教学，并不仅仅是一种“有趣的介绍”，也不是为了介入而介入，而是因为在实际运用中，数学史确实值得我们融入数学课堂之中.以史入数，凭史而学，史数相激，必能发出耀眼的火花.