让数学学习向纵深处漫溯

方芳

【關键词】认识百分数;数学思考;数学思想;数学思维

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2018）81-0064-03

不久前，笔者听特级教师周卫东执教苏教版六上《认识百分数》，感触颇深：周老师从知识的顶端和本质研究教材，以“高观点”的视角引领教学，给了这节课全新的生命——内涵深刻、外延丰富、沟通紧密、板块清晰，充分体现了学生主体。

这节课教学的界面特别宽，知识的延展特别丰富，涉及的概念延展就有比、扇形统计图、分数的产生、估算、十进分数等，每一处延伸都让学生体会到数学思考可以更全面、更深刻、更丰富，每个学生的数学思考能力都得到了一定程度的锻炼和提高。

数学思想的渗透往往是“润物细无声”的。本节课中，在揭示百分数意义的过程中，圈出一个数和另一个数的圈，对学生习得建模思想的作用不言而喻;让学生自主表示百分数和分数的关系，集合圈的出现体现了集合思想的渗透;引导学生比较百分数和分数的区别，掌握百分数的本质特征，无形之中有了比较思想;学生在研究过程中学会一分为二、辩证地看待事物，让辩证思想悄然登场。

这节课着力聚焦高阶思维的提升，学生在学习、思考的过程中分析、评价和创造，在解决问题的过程中融会贯通、拓展思路、发散思维。本节课中，表示数量之间关系知识点的整理、十进制分数的拓展、百分数产生必要性的探究等，让学生的思维能力不断提升，学生的创造力、想象力在教师搭建的舞台上发光发亮。

片段一：引发联想，深度追问“百分数的意义”

师：课前，老师请大家找一个生活中用到百分数的句子。现在，请你说出你的句子，并说说你句子中的百分数表示什么意思。

生：一杯糖水含糖7%，这里百分数表示糖是糖水的7%。

生：下载一部动画片，进度条显示78%，这里百分数的含义是已下载动画片的量是下载总量的78%。

师：像这样说下去，说得完吗？老师这儿也有个句子——“一块电池，用电量还剩80%”，这个句子中的80%是什么意思？

生：剩余电量占总电量的80%。

师：好好观察这些百分数，表示的意思，试着概括一下百分数究竟表示什么。

师：是的，所谓百分数，就是表示一个数是另一个数的百分之几。这句话是百分数意义规范层面的解读，在数学上，根据这个意义，我们还可以联想到更多和它有关的句式。

出示任务一：“一块电池，用电量还剩80%”，还可以想到哪些关键句？

学生大胆想象、发散思维，完成学习单，然后全班交流。

生：已经用掉的电量占总电量的20%。（板书：百分数）

生：用去电量和剩余电量的比是1∶4。（板书：比）

生：剩余电量占总电量的。（板书：分数）

生：剩余电量是用去电量的4倍。（板书：倍） 生：把用去的电量看作1份，剩余的电量就是4份。（板书：份）

师：由一句含有百分数的句子，大家想到了比、分数、倍、份，真是太牛了！好好琢磨一下，这些知识点有没有共同之处？它们都在努力表示什么？

生：我觉得它们都在表达两个数之间的关系或联系。

师：说得多好啊！是的，它们都是在表达数量之间的关系。（板书：关系，整理出图1）

师：同学们把小学阶段表示数量之间关系的知识点基本都整理出来了，可以用百分数表示，可以用比表示，可以用分数表示，可以用倍表示，也可以用份表示，它们是一些相近的概念。

教材中给出的百分数的意义只有一句话：“一个数是另一个数的百分之几。”在教学中，周老师通过引导学生解读生活中百分数的含义，促使学生不断地概括、归纳、总结，从而得出所谓“关于百分数意义的最规范层面的概括”。接着，周老师通过“还可以想到哪些关键句？”这个问题，进一步推动学生的联想、沟通，并在相关过程中形成了一幅精妙的关系图。这幅图揭示了百分数和比、分数、倍、份等概念表达的都是数量之间的关系，促进学生对百分数意义的研究走向了更深处。

片段二：对比分析，逐层理清“百分数和分数间的关系”

师：刚才，我们研究了百分数的意义，并由百分数做出了这么多的联想，真是太棒了！接下来，让我们聚焦这个问题，百分数和分数之间到底有什么样的关系？同桌互相说一说。

出示任务二：哪些是百分数？分数与百分数之间是什么关系？

师：“一根绳长米，用去了”“吨是吨的”，这两个句子中哪些是百分数？圈出来。想一想，百分数和分数之间到底有什么关系？用一张图来表示两者之间的关系。

师：为什么圈的这两个数是百分数？

生：“一根绳长米”，是把1米看作单位“1”，平均分成100份，取其中的41份，而“用去了”，是用去的绳长与绳子总长度进行了比较。

生：带单位的分数表示的是具体数值，不带单位的分数表示的是数量之间的关系。

师：由此可见，尽管带单位的分数的分母也是100，但它不是百分数。弄清楚这个关系之后，我们再来看这位同学的作品（如图2），用这样的图表示分数和百分数间的关系，可以吗？

师：老师把图稍微改进一下，但不改变它的意思。（竖线隔开）百分数表示一种关系，那左边这部分表示什么？（具体数值）右边呢？（关系）（如图3）

师：是的，表示关系的分数中有一种特殊的数，就是百分数，它特殊在哪里？（分母是100）百分数还有一些“亲兄弟”，大家猜猜是什么。

出示：今年小麦增产了两成;我的牛排煎七分熟;按原价的九折购得一台电脑;海水的含盐量是3.5‰;存款的月利率是5.85‰。

生：哇！是十分数和千分数。

师：十分数的分母是10，百分数的分母是100，千分数的分母是1000，这些分数都是“十进分数”。

百分数的本质特征（百分数不是一个具体的量，而是刻画一种比率关系）是学生理解百分数意义的一个难点。透过实例中“哪些是百分数”的判断，突出百分数和分数的对比，学生在比较中自主建构出了百分数和分数的关系：百分数是一种特殊的分数。接着，周老师启发学生进一步探究：百分数是从分母是100的分数发展而来的，但又区别于分数，百分数只能表示两个数之间的关系，而分数既能表示具体数值也能表示两个数的关系。除了百分数之外，还有一些特殊的分数，如千分数、十分数等，它们都叫十进分数。教师站在一定的高度对知识的外延进行了补充，让学生在讨论、交流、评价过程中逐步打破了自己对分数和百分数的原有认知，提升了思维。

片段三：创设疑障，有效回应“百分数产生的必然”

师：清楚了百分数和分数的关系，我们来研究第三个问题——有了分数，为什么还要有百分数？大家互相说一说。

出示任务三：哪一种罐头的质量好？（出示图4）

师：我发现好多同学在皱眉头，为什么？

生：不好算。

师：先说说应该怎么来解决这个问题。

生：算合格的占抽查箱数的几分之几，然后比较三个分数的大小。

师：在比较时你有什么感觉？

生：太难了。

师：是的，看得出，你们都是在硬通分，还有更好的方法吗？

生：统一成百分数。

师：统一成百分数有什么好处？

生：好比较，分母都是100.

师：怎么把这样的分数化成百分数呢？

生：用分子除以分母，把分数转化成小数，确认保留几位小数位后，乘以100，得数加上%就变成百分数了。

师：我们经历了复杂的、不好比较的过程，更好地体会到了百分数的作用。现在谁来说说，为什么有了分数还要有百分数呢？

生：在分数不好比较时，先统一成相同的计数单位，然后再比较。

师：太了不起了！为大家点赞！此时，这个统一的计数单位是什么？

生：百分之一。

在突出百分数相较于分数的优越性时，无论是人教版教材还是苏教版教材，使用的例题看似不同，但内在本质都是一样的：化成分数进行比较时，公分母恰巧就是100，这样的题材太过巧合，人为的痕迹过重，不能把学生置于一个矛盾冲突之中，从而不易使他们感受到百分数“不可替代”的作用。试想，通分后公分母如果是300，是不是也要创造一个三百分数？此环节中，周老师创设了一个趋于真实的情境，让学生在冲突、悱愤的状态中皱眉、苦思，从而顿悟到百分数产生的必然。

师：百分数的产生是为了更方便我们去比较。回忆一下，分数是在什么情况下产生的？（出示人教版教材中的素材）

师：分数就是在生活中为了度量的需要产生的。在分数的使用过程中，为了更方便我们比较，发明了百分数。那再想想，学习百分数有什么用？

生：用到生活中去。

师：是的，学习百分数是为了更好地服务于生活。如果离开了生活当中的应用，百分数就失去了意义。（出示图5）

百分数产生的必要性在这个环节得到了很好的体现。教师精心创编数据，使得实际问题更贴合实际情况，在问题解决过程中，学生更加体会到百分数产生的需要。结合历史文化背景介绍，形成分数、百分数和生活三者之间的循环联系，有助于学生更深刻地理解分数、百分数产生的必然性。

（作者单位：南京市長江路小学）