函数凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用

李震南

摘要：众所周知，琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用。它实质上就是对凸函数性质的应用，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系，能够很好的为高中数学压轴证明题服务。本文首先详细阐述了函数凹凸性与琴生不等式的定义与性质，通过一道压轴数学证明题详细阐明了琴生不等式在不等式证明中的应用，并做出了总结。

关键词：高中数学 导数与函数 函数凸凹性 琴生不等式

多次高考的导数大题中的压轴证明题都是琴生不等式证明的变式。考虑到高中阶段课本没有对琴生不等式与函数的凸凹性做深入研究，笔者特在此做一个汇总与整理，探讨并总结琴生不等式与函数凸凹性的应用。

3小结

總地来说，琴生不等式的特殊形式（比如只有两项时），可直接构造函数，求导（一般要二次求导），判断单调性来证明。而其一般形式，常用方法有两种：切线法，即证明函数定义域内的点的切线恒在函数图像上方（凹函数）或下方（凸函数），然后可以通过累加得以证明；数学归纳法，特别需要注意的是归纳递推的过程中构造与假设中的式子形式相同的式子，然后证明不等式。

参考文献：

[1]胡宇晨.例谈加权琴生不等式的应用[J].中等数学，2015，（09）：15-18.

[2]王毅，朱琨.琴生不等式的推广应用[J].数学通报，2009，（3）：61-62.endprint