小学数学除法意义教学的实践与探究

江苏省新沂市春华小学 吴新平

在小学数学教学中，开始引入除法时，是从把一个数分成若干等分引入的，也就是从平常所说的等分除引入的，之后再介绍所谓包含除法以及求缩小倍数的问题。但就数量之间的关系而言，除法是这样的运算，即已知两个因数积a与其中一个因数b，求另一个因数g的运算。用式子表示如下：

a÷b=g

上式中，a叫做被除数，b叫做除数，g叫做a除以b(或称b除a)所得的商，符号“÷”叫做除号。

由除法的意义可知，a除以b，就是要求一个数g，使它与b相乘的积等于a，即：bg=a.

从上述关系可以看出，除法是乘法的逆运算。在数学中，除号有时用“÷”来表示，即把被除数放在除号的左边，除数放在除号的右边；有时用一条短的线段“/”来表示，即把被除数放在短的线段上边，把除数放在短的线段下边。这样a除以b，就可以用两种方法来表示：

a÷b=g 或 a/b=g。

一、除法的特殊情况

1.如果被除数等于0，那么商也等于0。事实上，当 a=0时，a÷b=0，因为 b×0=0。

2.如果除数等于1，那么商就等于被除数。事实上，当b=1时，a÷1=a，因为a×1=a，这也就是说，用单位1除一个数时，则原数不变。

3.除数不能等于0，这是因为，如果b=0时，可以导致不定的结果。

二、除法定义的两个推论

1.某数除以一个数（0除外），再乘以同一个数，某数不变。写成一般的式子是：(a÷b)×b=a.这里，我们设 a÷b=g，那bg=a，所以(a÷b)×b=gb=bg=a。

2.某数乘以一个数（0除外），再除以同一个数，某数不变，写成一般式子是：(a×b)÷b=a.这里，我们设 a×b=m，那么m÷b=a，所以(a×b)÷b=m÷b=a。

三、有余数的除法

有余数的除法，在实际计算中是大量的，对以后的学习也有帮助，所以在这里作一点理论上的论证。

有余数的除法，在数学教材中一般这样定义∶整数a除以自然数b，如果能得到整数商g，使bg=a，就说b能整除a，或者a能被b整除，并用a/b来表示。如果a÷b不能得到整数的商，我们仍然把a叫做被除数，把b叫做除数。如果a最多含有g个 b，当 bg＜a＜b(g+1)时，这个整数 g叫做a除以b的不完全商，我们把这种除法叫做有余数的除法，写成一般的式子可表示如下：a÷b=g(余 r)或 a÷b=g……r。在小学数学教学里常采用后一种表示形式。有余数的除法，可表示成如下的关系式：A=bg+r。

下面我们来论证在有余数的除法中，余数必小于除数，即在a=bg+r中，r＜b。我们用反证法来证明。

假设 r≥b，r=b+rl(rl≥0)那么

A=bg+r

=bg+(b+rl)

=b(g+1)+rl

上式中，因为 rl≥0，所以 a≥b(g+1)，但这和不完全商定义bg＜a＜b(g+1)相矛盾。由此可知r≥b是不对的，因此，r＜b。下面我们再证明一下在有余数的除法中，不完全商和余数都是唯一的，即在a=bg+r(r＜b)中，g与 r都是唯一的。

我们仍然用反证法来证明，即设g与r都不是唯一的，

于是我们就有a=bg1+r1(rl＜b)。

但是我们已知a=bg+r(r＜b)，

所以 bg+r=bg1+r1，

于是得r-r1=bg1-bg=b(g1-g)。

这样，就得到(r-r1)|b。

但 r1＜b，r＜b，所以 r-r1＜b。

这样，只有在r-r1=0时，r-r1才能被b 整除，就是 r=r1，

于是我们就有0=b(g1-g)。

因为除数b不能是0，

所以g-g1=0，于是就得g=g1

因此，在有余数的除法中，不完全商和余数都是唯一的。在a=bg+r中，如果余数r=0，那么a=bg，也就是说b能整除a，因此可以把整除看成是有余数除法的特例。

四、除法和减法的关系

在前面，我们谈除法的意义时，曾谈到可借助于连减来帮助理解除法的意义。现在从理论上加以论证。

设 a÷b=g……r，

也就是 a=bg+r(0≤r≤b)，a-bg=r。

因为a-bg=a-(b+b+b+b+……)=r，

所以a-b-b-b-……-b=r。

从上面的式子可以看出，除法就是连减法，最后的差就是余数。有时差可能是零。

五、乘法和除法的验算

我们学过了乘法，也学过了除法。在乘法和除法中，已知数和未知数之间有如下的关系：在乘法中，一个因数等于积除以另一个因数。应用这种关系以及乘法的交换律，可以对乘法和除法进行验算。

乘法可用乘法来验算，即把两个因数交换位置再乘一遍，如果两次相乘所得的积一样，说明计算结果是正确的。乘法也可以用除法来验算。

除法可用除法来验算，即拿被除数除以商(如果有余数，先从被除数里减去余数，再除以商)，如果除的结果等于除数，就说明计算是正确的。除法也可以用乘法来验算，即拿除数和商相乘，如果乘得的结果(如果有余数，还要加上余数)等于被除数，就说明计算是正确的。