对求双曲线的离心率问题的探究

■河北省唐山市乐亭县第一中学 史笑菲

双曲线的离心率问题,在数学高考中“出镜率”极高,是一类值得我们关注的重点题型,下面以一道题为引例,对其进行变式探究,以达到举一反三的功效。

引例 已知双曲线的渐近线方程是y=±4x,求该双曲线的离心率。

变式1 双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=1 2 0°,则双曲线的离心率e的值为____。

分析：从△MF1F2的形状中找出a,b,c之间的关系。解：设双曲线方程为b＞0)。

因为△MF1F2为等腰三角形,∠F1MF2=1 2 0°,所以∠MF1F2=3 0°,t a n

变式2 设双曲线的半焦距为c,直线l过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线l的距离为求双曲线的离心率。

分析：由截距式得直线l的方程,再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式,从而解

解：由l过两点(a,0),(0,b),得l的方程为b x+a y-a b=0。

变式3 已知双曲线＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是双曲线上一点,且P F1⊥P F2,P F1·P F2=4a b,则双曲线的离心率是____。

分析：利用双曲线定义和勾股定理,找出a与c的关系式。

解：由双曲线定义得,|P F1-P F2|=2a。①

由P F1⊥P F2得,

因为P F1·P F2=4a b,故有4c2-8a b=4a2,即4(c2-a2)=8a b,所以4b2=8a b。

因此,b=2a,b2=4a2,即c2-a2=4a2,故c2=5a2,即

方法归纳：求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出a,c,再计算据条件建立参数a,b,c的关系式,如果含有b,一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解,另一种方法是消去c转化成含求离心率。

(责任编辑 赵 平)