实施单元整体复习 促进数学思维生长

徐秋云

[摘   要]在初中数学教学过程中，复习是很重要的一环.只有做好复习工作才能真正做到温故而知新。实施单元整体复习，可以有效地让学生掌握本单元核心内容，驱动学生数学思维的生长.

[关键词]单元整体复习;数学思维 ;初中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2018）35-0016-02

单元整体复习就是指以一个单元为基本单位，根据本单元的学习要求，利用各种教学策略对本单元的知识进行整合，让学生对这一部分知识有一个更完整与深刻的认识.设计单元整体复习可以系统地对整个单元的知识进行整合，让学生在回顾思考的过程中有新的收获，在知识不断发展的过程中数学思维得到锻炼，能力得到提高.

一、注重知识的形成过程，促进思维生长

例如，北师大版九年级数学教材中的《直角三角形的边角关系》一章涉及三角函数和直角三角形边角之间的关系.在教材中，我们经常会看到一个图形（由两个直角三角形组合而成的图形）而产生的各种数学问题，它贯穿于这一章内容的始终.在单元复习时，如何抓住这一重点，并发挥好这一重点的作用呢？对此，我做了一些复习整理.

首先，让学生观察最熟悉的两个直角三角板，如图1所示，然后思考两个问题：（1）如果已知BC和DE的边长，是否可以求出其他边的长度？（2）如果已知三角形的任意一条边长，是否可以求出其他边的边长？这两个问题的设计意图很明显.学生对特殊的三角形和一些特殊的三角函数都有了一定的了解，所以给出三角形的一边，就可以很容易地求出其他边的边长.在这里设计这些复习题目主要是为了让学生掌握好基础知识，为之后更深入的研究打好基础.最后，出示相关练习题.具体如下：

（1）如图2，在三角形ABD中，已知∠A和∠BDC的度数，BC垂直于AD，①若给出了BC的长度，试着求出其他各边的边长;②若知道了AB和BD的长度，求出其他边的长度.

（2）如图3，在三角形ABD中，已知∠A和∠BDC的度数，BC垂直于AD，这里的两个问题和上面的例题中一样.

在上面的题目中，学生经过初步观察就会发现这几个图形都是由两个特殊的三角形拼成的，结合所学知识和题目中所给的条件，学生就可以在特殊的三角形中求得边长.在这种题目中可以让学生感受到任何复杂的图形都是由简单的图形拼成的，解决复杂的问题可以先把它简单化，放在简单的图形中去看，这样可以锻炼学生的转化思维，让他们学会换个角度解决问题.

（3）如图4，在三角形ABD中，若已知[∠ A]和∠ BDC的度数，假设再给出BD或AB的长度，试着求其他各边的边长.

这道题目是为了让学生学会发散思维，可以在图中添加一些辅助线从而构造直角三角形，构造完成后学生还是会发现这些图形也是由两个特殊的三角形拼成的，根据之前的练习和经验，学生解决这道题也不会有什么困难.这一道题就是根据上面一道题变化而来的，而解决这类题目的关键就是要通过计算求出两个直角三角形的公共边，根据这条公共边与两个三角形之间的联系来求出其他的边长.学生在解题的过程中，从看似两个普通的三角形中可以发现这些三角形无论怎么变换都还是可以拆成两个特殊的三角形.经历了这个过程，学生的思维过程可以进一步得到發展.

（4）在图4中，若给出了AD的长度，可以求出其他边的长度吗？

这和上题类似，也是首先要构造直角三角形.学生虽然知道这些三角形都是由特殊的三角形组成的，但是他们也会意识到，题目中所给的条件并不能直接在所构造的三角形中得到运用，解决这类问题的第一种方法就是找到公共边，如果公共边也解决不了，就需要用到设未知数，通过方程来求解.在解决这类问题时，已知条件和隐含条件中都没有直接给出任何一个直角三角形的边长，所以就需要换个方法.在同样的一个图形中，当条件发生变化时，之前的方法可能不适用，就需要换一个解题思路.通过这样的问题，可以锻炼学生的随机应变能力，让他们学会一题多解，遇到问题时及时找到最合适的方法.

（5）如果已知∠ A=27°，∠BDC = 40°，AD = 2，求出三角形其他边的边长.

在这道题目中，三角形经过变换，把特殊的角度都变成了一般的角度，并且题目一般会提供所需的三角函数的值，最终还是通过构造直角三角形解决问题.像上面几道题中的主题图都是贯穿于整个单元的，分布于每一课时的内容中.在平时教学中，教师很难有时间和精力把每一幅图都展开细细来讲.在单元复习时，教师可围绕本单元的主题图做一些专门的设计，让学生首先从熟悉的三角板入手，之后再对三角形进行一些特殊的变换.在不断变化的过程中，学生需要思考如何解决各种可能出现的问题，在思考的过程中逐渐加强思维能力.随着主题图的发展变化，学生的思维也会逐渐开阔，从特殊问题到一般问题，解决问题的方式也更加多样，在知识发展的过程中逐渐养成良好的思维习惯.

二、理解知识本质，促进思维发展

如《二次函数》，我们知道学习这一章的关键是学会看函数图像，函数图像是研究二次函数的性质、解决实际问题的关键.因此在进行单元整体复习时一定要让学生学会看图、画图，能够从题目中找到有用的信息，不断提升数学思维.对于这一章，我做了如下的复习总结.

我们画函数图像一般是采用描点法，描点法的步骤是列表、描点、连线.例如，画y=x2的图像.首先就要列表，当x=-3时，y=9;x=-2时，y=4;x=-1时，y=1;x=0时，y=0;x=1时，y=1;x=2时，y=4;x=3时，y=9.之后就是描点、连线.在这里就有几个问题：（1）数学是怎么来的（2）点又是怎么来的？（3）线是怎么画出来的？在学习二次函数的过程中，学会画图是最基本的，只有会画图、识图才能进一步学习.学生在单元整体复习时首先就要温习画图方法，在画图的过程中，学生又会逐渐明白二次函数其实和方程是很像的，二次函数可以看成是方程，大部分方程都是有无数个解的，而这无数个解就是函数图像上每一个横、纵坐标对应的点，一个数对是一个坐标，一个坐标确定一个点，而很多个点就会构成函数图像.表格其实就是方程无数个解中的一部分，列表格就是为了找到有序的实数对，找到函数上对应的点.而这个过程就是数形结合，由数到形的过程.由二次函数到方程，到方程的解，到有序数对，再到坐标，最后到点和线.学生在这个过程中，会理解数是如何转化成“形”的，理解这二者的实质，真正理解函数图像的意义，从而利用图像解决问题.在这一过程中，学生会逐渐找到思维突破口，掌握正确的思维方法.

给出一个二次函数y=ax2+bx+c的图像，并且给出了零点，对称轴和开口方向等.设计以下几个问题：（1）求出方程ax2+bx+c=1的根;（2）求出不等式ax2+bx+c<-2的解集;（3）如果方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.问题（1）比较简单，学生可以运用数形结合方法，并根据图形中的信息找出函数的解析式，把函数和方程结合起来就可以找到答案.这里考查的是学生的识图能力.将求方程的解看作是解函数图像中已知的一个方程组的解.解方程组需要找到两个方程的公共解，公共解就是函数图像中的公共坐标.通过观察，学生可以发现公共坐标，把这两点坐标根据函数关系列出方程组，有了两点坐标求方程组的解就是比较容易的问题了，找到了点的坐标其实也就找到了方程的根.问题（2）是解一个一元二次不等式.初中阶段这方面的知识学习较少，学生解起来可能会存在很大的问题，此时就应该寻求别的方法.可以把这个不等式看成是抛物线低于某条直线的部分，通过函数图像可以找出两个函数的交点，从而判断范围.问题（3）可以把这个方程拆成一个方程组，题目中的方程有两个不相等的根，意思就是指方程组有两组不同的解，此时回归到函数中，就是指两个函数有两个不同的交点，通过函数图像判断k的值，这就完成了由形到数的转化.学生通过上面的几个问题完成了数与形的转化，掌握了数形结合思想.

“二次函数的图像和解析式”是二次函数这一章节内容的核心知识，也是解决各类实际问题的基础和关键，学生只有真正理解了数与形之间的本质联系，才能更好地理解二次函数与方程之间的关系.在复习的过程中，我首先让学生复习如何画函数图像，由数到形，再通过观察图像完成由形到数的转化，从而让学生真正理解“数”和“形”的本质.在理解的过程中，学生不断学习突破，寻找新的知识生长点，学生学会透过现象看本质，思维深度也不断加深，数学思维更加深刻.

数学是一门对学生思维能力要求较高的学科，学生的思维如果跟不上，在学习过程中就会感到很吃力.因此，在数学课堂上，教师要有目的地培养学生的思维能力.在数学复习课的过程中，我们通过设计单元整体教学，让学生对本单元的知识进行系统整合，让他们逐渐了解知识产生、发展的过程.在理解知识的过程中激发学生的思维，让他们学会变式，真正理解问题的本质.只有学生在整合知识和理解知识本质的过程中不断探索，数学复习课堂才能真正达到复习的目的，学生也才能在复习的过程中不断提高能力.

[   参   考   文   献   ]

[1]  顧大权.设计单元整体复习 驱动数学思维生长[J].教学月刊·中学版（教学参考），2018（4）：53-56.

[2]  章莺.问题驱动形式下函数解析式复习教学的实践与研究[J].学园，2015（19）：77-79.

（责任编辑 黄桂坚）