微言要义之标准方程与一般方程

梁玉 徐章韬

【摘要】平面解析几何是中学数学的核心内容，在研究曲线性质时，总是借助于方程对曲线的几何要素进行表示.曲线方程通常分为标准方程与一般方程，在今天的教材中尤其突出“标准方程”的主干地位，不对一般方程有所讨论.有鉴于此，本文将分别从语义、数学和教学三个角度对标准方程与一般方程进行辨析，探讨标准方程之“标准”的原因，揭示一般方程之“一般”的含义，以求厘清差别，认识不同数学概念的独特性;加强联系，体会数学内容之间的统一性.进一步，从教学角度对曲线方程的教学给予了改进建议.

【关键词】标准方程;一般方程;解析几何;数学概念;几何性质

1 引言

数学概念是构筑数学大厦的基石，不仅不同概念间的巨大差别需要关注，相似概念中的微言要义更值得去剖析.苏霍姆林斯基认为教师的语言素养“在很大程度上决定着学生在课堂上的脑力劳动的效率”，是“一种什么也代替不了的影响学生心灵的工具”[1].可见，教师课堂教学言语与学生课堂学习效果有着极为密切的关系，教师对数学概念的理解深刻影响着其课堂语言行为.因此对相似概念进行深度挖掘，厘清数学概念的区别和联系，会极大地提升数学概念教学的效果.

方程是含有未知数的等式，表示两个数学式之间的相等关系，是用以简化描述现实世界复杂数量关系的有力工具.在数学史的长河中，代数学从修辞代数发展到缩略代数、再到如今成熟完备的符号代数，方程便是代数学研究的中心问题之一，可以说，方程与代数学是相伴而生的，对方程的研究也是人们扩张数域的重要动力因素.方程作为初等数论代数领域的主要内容，在基础教育阶段贯穿始终：小学阶段安排用字母表示数、简单的一元一次方程及其运用等知识;初中阶段则递进呈现一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程及其运用;高中阶段进一步向抽象化發展，介绍圆锥曲线的方程——二元二次方程.17世纪解析几何的诞生使几何问题代数化，通过代数方程来研究曲线的几何性质，曲线方程的形式也开始多样化，通常情况下分为标准方程与一般方程.但随着时代的发展，曲线方程的形式趋于单一，尤其在今天的高中教材中突出“标准方程”的主干地位，对一般的二次方程及其曲线不做讨论.试想标准方程为何“标准”？一般方程又何以“一般”？两字之差让它们相互区别又联系紧密，是利用代数方法解决几何问题的出发点与归宿地.下面将从普适的语义、独特的数学意义以及教学中的侧重三方面对曲线的标准方程与一般方程两个概念进行辨析，挖掘隐藏于字面背后的深刻内涵.

2 辨析

2.1语义上的辨析

“标准”一词在《现代汉语词典》有两种解释：①衡量事物的准则：技术标准|实践是检验真理的唯一标准.②本身合于准则，可供同类事物比较核对的事物：标准音|标准时.“一般”一词在词典中释义如下：①一样;同样：别和他一般见识.②数量词.一种：别有一般滋味.③普通;通常：一般性|一般化|一般情况.④哲学名词：指一切事物，或者许多个别事物所属的一类事物，亦指事物的共性[2].

从词典的语义学解释中得知，标准方程意为衡量同类曲线其他方程形式的准则，其本身合乎准则，易于凸显曲线的优良结构与性质，可供同类曲线方程进行比较与核对，向之看齐.例如圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程本身易于凸显曲线的基本几何要素，反映曲线的某种性质，可作为曲线其他形式方程朝之转化的准则.而一般方程强调不同方程之间的共性，把曲线方程按照某种特征聚类合并，数学上通常以方程未知数的个数和最高次数为依据将方程归类.例如一切直线方程都可看成是二元一次方程，因此二元一次方程就是直线方程的一般形式;一切圆锥曲线方程都可表示为二元二次方程，因此二元二次方程就是圆锥曲线方程的一般形式.2.2数学上的辨析

辨析标准方程与一般方程之关系，从直线方程说起.直线是解析几何研究的第一个曲线，也是最简单的曲线.直线方程形式众多、各具特色，有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等，不由思考：直线为什么没有“标准方程”呢？究其原因，可从直线方程的建立过程得知.确定直线的条件是直线上一点和直线的倾斜角或者是直线上的不同两点.直线方程的点斜式正是从“直线的倾斜角和一定点”来刻画直线方程，斜截式则在此基础上将“定点”特殊化为直线与y轴的交点，两点式是从直线的性质“两点确定一条直线”来刻画直线方程，截距式则将“两点”特殊化为直线与坐标轴的交点.我们知道，解析几何的思想是借助于坐标系将图形中的几何要素用坐标和方程表示出来，运用代数方法进行研究从而解决几何问题.规定“标准方程”的意义就在于其能反映曲线的几何要素、方便研究曲线性质.而点斜式、斜截式、两点式和截距式四种形式正是基于这一思想精髓，从确定直线的几何要素入手建立直线方程，从而达到简捷、快速、准确刻画直线的结构、描述直线性质的目的.因此，从某种程度上可以说这四种形式都是直线的“标准方程”，它们的名称本就彰显了其几何意义.

但是，为了弥补四种形式方程刻画直线的局限性（不能表示垂直x轴的直线），直线的一般方程顺应而生，一般方程可表示任意位置的直线，实现了直线方程大一统的局面，然而此长彼消，一般方程偏重“数”的统一却难以突出直线“形”的本质.

从上述分析中不难发现，标准方程之“标准”，首先在于其“标准位置”.图形中的几何量和几何关系是图形的固有特征，解析几何是通过建立坐标系将图形与方程联系起来，运用代数的方法研究图形的几何性质，而这些性质都是与坐标系的选取无关的，也就是坐标变换下的不变量.既然如此，在何处建系才能达到简捷、快速、准确描述图形几何性质的目的呢？这就引出了“标准位置”一说.众所周知，圆的标准方程中圆心可以不是原点，而椭圆、双曲线、抛物线的标准方程却要在原点处讨论，为何不把圆心在原点的圆的方程叫做标准方程？其一从圆的几何性质来看，圆拥有极其完美的对称性，不仅是轴对称、中心对称图形，更是旋转对称图形.圆围绕圆心旋转任意角度后位置和形状都不发生改变，即具有旋转不变性，因此圆的方程在旋转变换下不变，只在平移变换下改变，平面直角坐标系中任意位置的圆都可看成是由圆心在原点、半径相同的圆平移得到，由于学生已经对平移的概念和相应坐标变化很熟悉，这样一来，无需将“标准位置”规定在原点，圆的完美对称性使得平面上任意位置都可以成为圆的“标准位置”;其二从圆的方程建立过程来看，确定一个圆的基本要素是圆心和半径，圆上任一点到圆心距离都等于半径，基于此圆的标准方程是由平面上两点之间距离公式推导出来的，既然平面上两点的位置是任意的（并未规定其中一点必须在原点），那么圆心的位置和圆上一点的位置也应该是任意的（圆心位置可以不在原点），也就解释了为何圆的“标准位置”不设在原点处;其三从数学发展的需要来看，现实世界复杂的数量关系与空间形式无处不在——奥运五环、自行车的前后轮、堆放的雪人、日全食的原理等，使得数学对圆的研究从“单个”走向“多个”.为定量研究两圆或者多圆之间更为复杂的相离（外离、内含）、相切（外切、内切）与相交的位置关系，不得不考察圆在各种不同位置时方程，因此圆的“标准位置”不能局限在原点.相较圆而言，椭圆、双曲线、抛物线图形情况更为复杂，尽管它们也具有某种对称性——轴对称或者中心对称，但没有达到像圆那样完美的旋转对称.例如将椭圆等绕中心旋转某一角度后图形的方向发生变化，曲线的方程也相应改变，甚至可能出现xy项，因此椭圆等方程在旋转变换和平移变换下都发生改变，对图形研究起来也更加繁琐.鉴于椭圆等图形的形状和方向各式各样，要想通过解析的观点来简捷、快速、准确地研究其几何性质，必须固定中心、固定方向，将椭圆等的“标准位置”规定在原点、对称轴规定在坐标轴上，以达到从简入手、分散难点的目的.

圆锥曲线的一般方程是形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程，它是一个二元二次方程，从位置上讲，它可以表示在任意位置处的圆锥曲线;从形式上讲，它可以表示不同类别的圆锥曲线.一般方程将不同种类、不同位置的圆锥曲线方程统一化，实际上是在对个性研究的基础上概括出圆锥曲线方程的共性，渗透了从特殊到一般的归纳思想.尽管一般方程从“数”的角度实现了圆锥曲线方程的归一，但从中很难直接判断曲线的种类，更不能体现图形中具体的圆心、半径、焦点、准线、长轴短轴和实轴虚轴等基本几何要素，在“以形助数，让数显形”方面略显不足，重形式上的统一性而轻“形数结合”的连贯性.

2.3教学上的辨析

2.3.1从教材编排来看

标准方程与一般方程作为解析几何的核心知识，在人教A版高中教材中分两部分进行介绍：必修2中直线与方程、圆与方程;选修1-1/2-1中圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）与方程.

从纵向联系看，教材是以坐标法为纽带，依照“直线与方程——圆与方程——圆锥曲线与方程”为顺序，循序渐进、螺旋上升地展开内容[4].直线与方程作为解析几何的开端，在教材中给予了浓墨重彩的一笔，从直线的五种形式和不同形式直线方程间的互化可窥探得知.继直线方程后，引导学生根据确定圆的几何要素建立圆的标准方程，而后通过特殊的二元二次方程表示圆的形式与条件揭示圆的一般方程，渗透分类讨论思想.有了必修2的基础知识作为脚手架，选修1-1/2-1顺利引入解析几何的重点部分——椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，考虑到圆与椭圆的密切关系，圆的方程可以作为椭圆方程的特例，而双曲线方程与椭圆方程是符号之差，抛物线方程与其他方程形式有所不同但性质又紧密联系，因此采取这一顺序进行介紹是合理的.但是，选修教材对椭圆等圆锥曲线方程的推导都是通过二次平分法求得其标准方程，并利用标准方程研究它们的几何性质，突出“标准方程”的压倒性优势地位，缺少对圆锥曲线统一方程的讨论，这一点值得考量.

从横向联系看，标准方程与一般方程反映的是不同曲线的个性与共性问题.从个性出发，有利于对相应曲线的性质进行全面研究（范围、顶点、焦点、对称性、离心率、渐近线与准线等）;在对个性研究的基础上再归纳概括出共性，可以达到更进一步高水平的认识[5].必修2在编排过程中很好的体现了圆的标准方程与一般方程之间一脉相承相互转化的关系，使得圆的方程的教学完整恰当，圆的标准方程到一般方程的转化，体现从特殊到一般的归纳思想;一般方程到标准方程的回溯，足见从一般到特殊的演绎思维.但在选修教材中圆锥曲线的方程却局限于标准方程一种形式，过于偏重不同圆锥曲线的“个性”而轻视“共性”，不利于学生思想认识的进一步提高与升华.2.3.2从教育心理来看

从教育心理学角度来看，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知结构形成的过程，在这个过程中学生在教师的指导下把教材的知识结构转化为个性化的数学认知结构.教学要把握好学生的实际情况，从促进学生的认知发展角度出发，帮助学生搭建良好的数学认知结构.学习是一个循序渐进的过程，打好基础才能有更大的发展余地，然而学习不能仅留于此，“打胚璞”后还需“加光饰”，使得学生的认知结构逐渐由低水平向高水平进化，达到前后衔接、完整连续，使之具有不断吸收新数学知识的能力和知识的自我生成能力[6].

在椭圆、双曲线等圆锥曲线的标准方程学习之后，学生头脑中对圆锥曲线方程的认识只是一个个相互孤立的知识点，尚未形成完整的知识链和知识体，难以将前后知识结合起来融会贯通，甚至还可能思维定势式地认为圆锥曲线的方程只有标准方程一种形式.尽管学习过圆的一般方程，但其仅是二次方程的特殊形式，学生从主观上很难建立新旧知识之间的联系，不利于学生良好认知结构的建立.基于这一点，在学习了所有圆锥曲线的标准方程后应作适当总结，把圆锥曲线方程统一起来，使学生的认识加深，这样一来学生头脑中圆锥曲线方程的大厦就完整建立起来了.

基于上述教材编排和教育心理的两点分析，为使学生对圆锥曲线与方程有一个完整的认识，在教学方面可从以下着手进行改进：其一，将圆锥曲线方程的发展史融入教学.根据认知的历史相似性原理，个体的认知过程折射出历史上人类认识的发生过程，尽管圆锥曲线方程的历史是一个十分细微的课题，但其中蕴含着丰富的教育价值.在教学中适切融入其发展史，可以帮助学生明晰圆锥曲线方程发展的来龙去脉，体会从圆锥曲线及其性质的发现到标准方程的确立是漫长而艰辛的过程，也反映着解析几何的发展轨迹，从宏观上把握知识脉络，可以促进知识的深度理解和系统生成，拓宽学生的思维;同时将数学史融入数学教育是数学学科新课程标准所倡导的，充分展现了数学学科的人文情怀，用历史回顾与重构点缀单调的问题求解与几何证明，有利于激发学生的数学学习兴趣，唤醒学生的情意系统，进而落实三维目标中的情感、态度与价值观目标;其二，重视圆锥曲线的统一定义与统一方程.从教学角度来看，鉴于学生还未接触过坐标旋转变换，圆锥曲线的一般方程中xy项处理起来就会十分棘手，因此这里讨论统一方程会更有意义.数学学科新课程标准降低了对圆锥曲线统一定义和统一方程的要求，教材仅将其作为课后阅读材料介绍，不作为基本的教学安排，但统一定义和统一方程是圆锥曲线与方程十分经典的内容，其重要性不容小觑.离心率作为圆锥曲线与方程部分新引入的概念，不仅是描述圆锥曲线扁平程度的几何量，更是将圆锥曲线方程统一起来的纽带，只有学习了统一定义，才能真正理解离心率的意义.因此，无论是从离心率的引入意义来看，还是从促进学生认知发展角度出发，统一定义和统一方程都是十分重要的.建议在圆锥曲线的个性定义和标准方程学习之后，介绍统一定义，以离心率e为中介建立圆锥曲线统一方程（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，分析e的不同取值下的具体情况，体味离心率的几何意义及其与圆锥曲线之间千丝万缕的联系，让学生的数学认知思维从低水平向高水平进一步发展，这样一方面符合学生的认知规律和接受能力，另一方面也体现数学学科教学的前后连贯性、科学性和系统性.

3 结语

圆锥曲线方程形式多样，各有特点.标准方程凝结着“数”与“形”的统一，尽显数学之美，为初学者学习解析几何搭建了明晰直观的桥梁，使得学习能够省心省力、进入佳境;一般方程万变归宗，从代数的角度凸显圆锥曲线方程的本质特征，将形形色色的标准方程统一于二元二次方程的形式，帮助学习者搭建了连续而系统的优良认知结构.教学中还需仔细斟酌数学用词，把握隐含于数学“微言”背后的“要义”，厘清差别，认识不同数学概念的独特性;加强联系，体会数学内容之间的整体性.让智慧之光在概念的准确定位中闪烁，让精彩的课堂在概念的清晰引领下升华！

参考文献

[1]B.A.苏霍姆林斯基著.给教师的建议[M].杜殿坤编译.北京：教育科学出版社，2004.

[2]中国社会科学院语言研究所词典编辑室编.现代汉语词典[M].北京：商务印书馆出版社，2012.

[3]汪晓勤.椭圆方程之旅[J].数学通报，2013，52（4）：52-56.

[4]章建跃.人教A版高中数学课标教材中的解析几何[J].中学数学教学参考，2007，10.

[5]章建跃.我国中学数学解析几何教材的沿革[J].中学数学教学参考，2007（8）.

[6]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版，1999.