斐波那契指数数列

楼明

【摘要】 自相似迭代产生斐波那契数列，它前后两项的比收敛于黄金分割比.斐波那契指数数列也和斐波那契数列一样具有无比美丽的分割比.

【关键词】 斐波那契;数列;指数;分割比

我们考查迭代数列{a n}，a n=a  n-1 a  n-2 ，n≥3，n∈ N .

a 1=a>0，a 2=b>0.

a 1=a，a 2=b，a 3=ab，a 4=ab2，a 5=a2b3，a 6=a3b5，

a 7=a5b8，a 8=a8b 13 ，a 9=a 13 b 21 ，a  10 =a 21 b 34 ，…，

a n=a  1  5     1+ 5  2   n-3 -  1- 5  2   n-3   b  1  5     1+ 5  2   n-2 -  1- 5  2   n-2   .

我们把这种形式的迭代数列叫作斐波那契指数数列.

特别地，当a=b时，a n=a  1  5     1+ 5  2   n-1 -  1- 5  2   n-1   .

如果把斐波那契数列{F n}看成是一维空间自相似迭代数列，那么二维空间的自相似迭代数列在一维空间的投影就是斐波那契数列{F n}本身，这就是斐波那契指数数列的几何意义.

{1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610， 987，… } F n F  n-1  → 1+ 5  2 ≈1.618.

而每個{F n}数列项的数值表示二维空间在一维空间投影中心的坐标位置.

我们接着考查，三维自相似迭代数列：

{a n}，a n=a  n-1 a  n-2 a  n-3 ，n≥4，n∈ N .

a 1=a>0，a 2=b>0，a 3=c>0.

如下表所示：b n是a和c的指数变化规律，c n是b的指数变化规律.

n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …

b n 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 1705 …

c n 1 2 3 6 11 20 37 68 125 230 423 778 1431 …

三维空间的自相似迭代数列在二维空间的投影是两个斐波那契指数数列{b n}和{c n}.

b n b  n-1  →1.839…， c n c  n-1  →1.839….

我们继续考查，四维自相似迭代数列：

{a n}，a n=a  n-1 a  n-2 a  n-3 a  n-4 ，n≥5，n∈ N .

a 1=a>0，a 2=b>0，a 3=c>0，a 4=d>0.

如下表所示：d n是a和d的指数变化规律，e n是b的指数变化规律，f n是c的指数变化规律.

n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …

d n 1 2 4 8 15 29 56 108 208 401 773 1490 2872 …

e n 1 2 3 6 12 23 44 85 164 316 609 1174 2263 …

f n 1 2 4 7 14 27 52 100 193 372 717 1382 2664 …

四维空间的自相似迭代数列在三维空间的投影是三个斐波那契指数数列{d n}、{e n}、{f n}. d n d  n-1  →1.927…， e n e  n-1  →1.927…， f n f  n-1  →1.927…

由上可以得到一个基本结论：N维空间的自相似迭代数列在N-1维空间的投影是N-1个斐波那契指数数列，而每个数列项的数值其几何意义就是N维空间在N-1维空间投影中心的坐标位置.并且每个斐波那契指数数列的后一项与前一项的比收敛于同一个常数（分割比）.

【参考文献】

[1]贾菲菲.斐波那契数列的研究与应用[J].科技创新与应用，2014（13）：53.