对一道试题讲评的评析

广东省广州市第六中学

吴 林 (邮编：510300)

前不久，笔者有幸听了一节贵州省黔南州骨干教师来我校跟岗学习的一节汇报课，讲评我校高二理科中段考试卷.上课教师是跟岗团中一位最年轻的女教师，她根据学生的答卷情况，精选了部分试题讲评.整节课启发性很好、分析到位、讲解透彻、与学生互动好、板书规范工整，体现了上课教师深厚的功底和良好的数学素养.

但是，在讲最后一道填空题(第16题)时遇到了一些小意外，现记录如下：

题已知函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关于直线x=3对称，则函数f(x)的值域为______.

师：本题没有同学做对，但相信大家对本题有过尝试和思考，请说说你的想法？

生1：向左平移3个单位后是偶函数.

师：(沉默一阵)因为我准备不足，我们暂时不讨论这个方法.

师：我们看到函数关于x=3对称，通过观察可以发现函数有2个零点是1，-1，由此可以得出什么结论？

生2：还有两个零点是5，7.

师：很好.这样我们就得到f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)(x-7),接下来如何求值域呢？

生3：求导.

师：求导？那我们试试.教师板演：f′x=4x3-36x2+68x+12,然后我们需要求它的零点，显然不好求.

生4：再求导.

师：再求导的目的也是求f′(x)的零点，而f″(x)=4(3x2-18x+17),这个二阶导数的零点都不是整数，那么后面的计算可想而知其复杂性.

师：那我们再观察f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)(x-7),这个4次函数还有什么办法可以解决？

生5：化为二次函数？

师：很好，请详细说说.

生5：我们很多四次函数可以换元化为二次函数的，怎么化，我也没想到.

师：很好，请大家思考，并从对称的角度想想，怎么才能换元，化为二次呢？

停顿几分钟后，

生6：我想到了：f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-5)(x+1)(x-7)=(x2-6x+5)(x2-6x-7),设t=x2-6x,得y=t2-2t-35,(以下从略).

师：大家给点掌声他.

师：还有一个问题，这道题是一个直线对称的问题，我们处理的办法是通过零点的对称性求解析式，再求其最值.请问一般对称问题都能这样解吗？如果是中心对称呢？请大家做变式：

fx=x3+ax+3关于点P1,2对称，求a的值.

待老师写完题，众生：a=-2.

师：怎么做的？

众生：把点P代进去就可以了.

显然，这道题题目错了，教师也意识到没有编好，对问题考虑不周.而此时下课铃声想起，教师说：下课了，大家下去后再好好思考一下，同学之间相互讨论一下.

从本题的考查知识点来看，主要有两个：(1)通过对称性求参；(2)对于四次函数值域的研究.从解法来看，可以通过对称性直接计算，可以通过化为偶函数求参；对于四次函数的值域，可以用导数解决，也可以换元化为二次函数来解决.而教师在备课时只考虑了一种方法，就是通过零点对称求参，再通过换元化为二次函数.但这并不是学生的“生长点”，所以，本题讲解出现了以下意外：

意外一生1说将原函数平移后可得到一个偶函数，这应该是一个大多数学生经常容易想到的思路，也体现了我们常说的将不熟悉的问题转化为熟悉问题这一重要的转化思想，是值得肯定的，也是通法之一.教师在备课时准备不足，说明教师对这个问题研究不深入，同时对学生这一想法的点评不足，应该更多地予以鼓励与肯定.

事实上，将函数图象向左平移3个单位后，得到函数y=f(x+3)是偶函数.

所以，y=f(x+3)=x4+(a+12)x3+(9a+b+53)x2+(26a+6b+102)x+8(9+b+3a)为偶函数，从而，a+12=0且26a+6b+102=0,所以，a=-12,b=35.以下从略.

意外二生3在说用求导的方法去求f(x)的极值点后，教师对f′x=4x3-36x2+68x+12的零点的求法研究不足，否定了这一做法，这个方法虽然计算要求高，但也是学生思维的增长点.

事实上，因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以x=3是f(x)的极值点，所以f′x=4x3-36x2+68x+12必有一个零点为x=3,于是f′(x)=4(x-3)(x2-6x-1),从而求出f′(x)的零点，再求出f(x)的单调区间和值域.

意外三生5、生6能想到常见的处理特殊的简单四次函数方法：化为二次函数，从而通过尝试想到“配对”展开再换元，这样的学生是我们寻找并要好好培养的学生.这是一个意外的惊喜.

意外四教师最后一个变式的方向其实很好，从四次函数关于直线对称想到三次函数关于点对称.两种函数，两种对称，通过类比，让学生理解和掌握对称问题的通性通法，对学生的思维提升很有帮助.但是因为教师研究不深入，导致题目出错，没能很好体现意图，而且没有对学生的解法：将点P代入函数式做追问：你是怎么想到的？为什么可以直接代进去？

事实上，解决图象对称的问题一般有两个思路：(1)取任意点，通过点的对称来解决，我们研究奇偶函数和求轨迹方程都是用的这个思想方法；(2)从一般到特殊，通过取特殊点(比如函数的零点)对称来求参数，计算量小.

对于习题教学的几点思考：

1 强化用通性通法，有助于学生思维能力的培养.

在已知函数奇偶性求参时，我们也常用特殊值法和定义法求参，这才是通法.要让学生掌握简单的三次函数、四次函数的研究方法，通过导数求函数的极值和最值，也是通法；将四次化为二次也是常见方法.这些通法才是我们要教给学生的方法，也是学生需要通过训练掌握的“基本功”.

本题的知识点和方法是高考常考点，在各地高考卷中也屡见不鲜，此处仅举两例：

(2017年全国卷1，文科试题第9题)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则( )

A.f(x)在(0,2)单调递增

B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称

D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称

(2013课标全国Ⅰ，理科试题第16题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为______．

2 课堂上“教学意外”如何处理？

“教学设计是一门科学，教学是一门艺术”(南京师范大学喻平教授语)，所以，教师在备课时要严谨周密，符合科学性，但在处理“教学意外”时还要符合艺术性，可以幽默风趣地自我解嘲、坦诚自己的准备不足、表扬学生的想法，并鼓励大家下去讨论研究，同时教师需要承诺学生，教师会在课后研究学生提出的方法的可行性，或约学生课下讨论.在处理过程中，教师要实事求是：(1)尊重和鼓励学生思考的价值；(2)教师面对问题和困难的信心、勇气和态度，这能给学生以很好的示范和榜样作用.

教师要有意识地保护学生思考的积极性，无论学生的思考结果是否成熟，是否可行，教师都要鼓励他们大胆尝试，可行和不可行都要给出充分的理由，不可简单地肯定或否定.当学生遇到复杂问题不会解决时，我们不能简单地把这个问题归结为学生的练习不足或者是基础不牢固，有时候，是学生缺乏解题的信心，从而放弃了对正确方法的追求，这种情感态度也需要我们在平时课堂上有意识地培养和保护.

3 在习题课中教学，怎样更有效地培养学生的解题能力？

教师要充分了解学情，加强学法指导，通过对学生熟悉问题的挖掘和拓展能引导学生跳出“题海”，重视对多题一解，一解多题的反思、归纳和总结，使学生真正地将方法内化，将问题形成串，结成网，以促进学生知识的系统化、结构化、综合化和应用化，从而真正提高学生的数学能力与数学素养[1].

引导学生想到解决问题的通法：老师通过分析条件、结论、题型等引导学生想到解决问题的第一步，也就是解题思维的起点，从而打开思路，找到通法.

引导学生举一反三，形成能力：教师启发学生说出自己的想法和思路，通过方法的比较，培养学生的分析能力、培养学生独立思考的习惯，学生才能真正学会分析问题；同时，教师通过对题型的归纳、总结和变式，引导学生发现问题的本质，提高学生的综合能力.

4 教师如何提升自己的专业素质？

对于一线教师，最好的研究素材就是课堂和学生，教师要做教学的有心人.很多课堂的“生成”、“碰撞”甚至“冲突”，都值得我们认真思考和研究.我们可以多做小课题研究，积累素材，久而久之，自己的专业素质就会有很大的提升.例如，本实录中最后的变式：三次函数的对称中心问题(拐点是其对称中心)，就有很多教师做过研究(有兴趣的老师可以上网搜索，此处从略)，我们可以借鉴学习，这样可以避免自己犯专业性错误.

在教学中及时记录，及时反思，及时在课堂上与学生分享，是自我成长的基础.同时教师也能在分享中了解学情，更好地把握学生的学习情况，为后续的教学找到着力点，这种反思和实践会使教师的专业成长更快.

在备课时充分考虑传授何种知识，如何传授？培养什么能力，如何培养？学生会学到什么，通过什么方式得到？学生会获得什么体验，如何获得？将这些问题落实到教学方法、教学的具体环节中，落实到教学的预设与生成中，就能更明确教学目标与培养目标.长期坚持，何愁学生数学素养不提升？[1]

1 吴林.知识起点，立意落点-以同课异构为例谈教学设计的立意[J].中学数学研究,2015(10)