液体晃动对槽罐车摆振系统动力学响应的影响分析

李金辉， 卢剑伟， 姜俊昭， 张 磊

(合肥工业大学 机械与汽车工程学院，合肥 230009)

前轮摆振是车辆运行中经常会出现的现象。摆振严重时会导致方向盘抖动、引发驾驶疲劳，并加速零部件的磨损，因此需要加以控制[1]。槽罐车罐内的液体晃动会对车身造成横向冲击，导致质心位移，并改变车身横摆、侧倾响应，对前轮摆振响应产生不可忽视的影响。

在前期人们对于非独立悬架车辆摆振的相关研究中，通常基于经典的三自由度摆振动力学模型进行分析[2]，获得了大量有用的结论。而针对罐体内液体晃动的研究也取得了一些成果，如陈铭军[3]通过解析法分析液体的质心偏移，得到其对整车产生的附加作用力矩，考察了车辆的侧翻临界坡度角。管迪华等[4]研究了罐体与车身的连接机构对转向轮摆振的影响，并重点探讨了如何改变连接刚度以消除自激振动。陈益苞等[5]探讨了不同的罐体截面形状对车身稳定性的影响。但是，在上述研究中未考虑罐体内液体晃动对转向轮摆振的影响。

基于上述原因，本文建立了液体晃动的等效模型，进而得到了考虑液体晃动影响的车辆摆振系统动力学模型，并通过数值算例分析了车辆在初始激励作用下液体晃动对其摆振系统动力学响应的影响。

1 液体晃动等效模型

设槽罐内液体域为V，液体稳态自由面为∂Vf，槽罐的湿表面为∂Vu[6-7]，建立坐标系O-xyz，坐标原点O取在液体表面，如图1所示。

图1 槽罐简化示意图Fig.1 Schematic diagram of simplified tank

只考虑槽罐受到横向平动的激励，且速度为v0(t)，液体满足连续性方程和不可渗透条件，得到势函数χ(x,y,z,t)的边界条件：

(1)

当液罐横向激励v0(t)=0时，液体自由晃动的特征模态同样适用于受迫晃动。根据文献[8]，令χ，ζ为只有晃动特征模态Φ、波高函数H的线性组合，即：

(2)

图2 液体晃动等效示意图Fig.2 Schematic diagram of equivalent liquid sloshing

对于第i阶晃动方程，在z轴上zi处设置质量为mi的质点，受到刚度为ki的弹簧和阻尼为ci的阻尼作用力。其中m0是固定质量点，h为液面高度，如图2所示。令mi偏离平衡位置的位移为yi(t)，则质点的运动微分方程为：

(3)

由上述公式得到等效模型参数与液体晃动动力参数之间的关系：

(4)

2 槽罐车摆振系统动力学模型

液体晃动与前轮摆振涉及的影响因素比较复杂，因此在确保分析结果有效的前提下作如下假设以简化建模分析的难度。以两轴罐车为例，将整车模型简化成转向系、车身、轮胎、液体等效系统，系统共有如下十个自由度：右轮摆角θ1，左轮摆角θ2，前桥侧摆ψ，横拉杆横摆θram，质心侧偏β，横摆θω，车身侧倾角φ，前三阶等效质量晃动位移yi。进而分析系统的动能、势能、耗散能及广义力，并利用拉格朗日方程建立系统的动力学模型。

2.1 摆振系统动力学模型

建立非独立悬架汽车摆振动力学模型，如图3、图4所示，为分析方便，本论文中仅计入横拉杆左侧的间隙，θ1、θ2为两侧车轮绕主销的摆动角；kl为换算到主销的直拉杆刚度；cl为换算到主销的直拉杆阻尼；φ为车身的侧倾角；ψ为前桥绕纵轴的侧摆角。

图3 转向轮摆振模型Fig.3 Steering wheel shimmy model

横拉杆和左梯形臂之间的间隙副如图5所示，忽略油膜等因素的影响，轴销中心为O1；半径R1；轴套中心为O2；半径R2，其间隙r为两者半径之差。

图5中，e为O1、O2之间的距离，ex、ey分别为e在x，y方向上的分量，参考文献[9]，当e

图4 前悬架简化模型Fig.4 Simplified model of front suspension

图5 横拉杆与左梯形臂运动副模型Fig.5 Motion pair model of tie rod and left trapezoid arm

在自由状态下，横拉杆与左梯形臂之间没有作用力，而在接触状态下，假设只有轴套会发生弹性变形，而轴销是刚体，则有：

Pn=Kκn+Cnun

(5)

式中：Pn为沿着O1O2方向的法向力；κn为法向变形；K、Cn为材料的刚度与法向阻尼系数；un为接触点的法向速度。

由于运动副之间接触时存在滑动，其切向力公式为：

Pt=-fcρcPn-Ctut

(6)

式中：fc为间隙的摩擦因数；ρc为与ut法向相同的阶跃函数ρc=sign(vt)，Ct为切向阻尼系数；ut为间隙接触点的切向速度[10]。

间隙运动副接触力对左右转向节的力矩分别为：

(7)

(8)

式中： 接触力在x，y方向的分力为Fx、Fy；lram为横拉杆长度；PHI为转向梯形底角。

2.2 整车动力学模型

罐车结构如图6所示，δ为右前轮转角；Fyf、Fyr分别为前后轮胎受到地面的侧向力；β为质心侧偏角；β=vy/vx；ω为横摆角速度；a，b分别为前后轴到质心的距离；d为液体等效晃动质心到整车质心的距离。

图6 罐车结构示意图Fig.6 Schematic diagram of tank truck structure

车身结构如图7、8所示，ms为包括车架和液体质量在内的簧载质量；hs为车身簧载质心到偏转轴距离，液体总质量为ml， 则m0=ml-∑mi；hi为各阶晃动质量到液罐底部的高度，即hi=h+zi；h0为等效固定质量到液罐底部的高度；hg为侧倾轴到液罐底部的高度。

图7 车身前轴结构示意图Fig.7 Schematic diagram of the front axle structure

图8 车身后轴结构示意图Fig.8 Schematic diagram of the rear axle structure

本文采用魔术公式描述轮胎的侧偏力，可以写为：

Fy=Sy+Dsin{Carctan[B(α-Sx)(1-E)+EarctanB(α-Sx)]}

(9)

式中：Fy轮胎的动态侧偏力，a为车轮的侧偏角。Sx，Sy，B，C，D，E为魔术公式参数，利用参考文献[11]所给参数值，Sx=0，Sy=0，B=9.032 rad-1，C=1.29，D=-5.25 kN，E=-0.801，可以得到轮胎纯侧偏角工况下侧偏力与侧偏角之间的关系。

3 动力学方程的建立

根据有阻尼系统的拉格朗日方程，T，U，D，Q分别为系统的动能、势能、耗散能和广义力，qi为各阶广义坐标。

系统的动能：

(10)

式中：m为整车质量；β为质心侧偏角；u为汽车前进速度；Iz为汽车横摆转动惯量；Iφ为簧载质量侧倾转动惯量；It1为前轮绕主销的转动惯量；IΨ为前桥绕其纵轴的侧摆惯量。

系统的势能：

(11)

式中：kφf、kφr分别为前、后悬架侧倾角刚度；ki为第i阶等效晃动刚度。

系统的耗散能：

(12)

式中：ci为第i阶等效晃动阻尼；cφf、cfr分别为前、后簧载质量侧倾角阻尼；ct为车轮绕主销的当量阻尼。

系统的广义力：

(13)

式中：hs为簧载质心到偏转轴距离；Fyf为前轮侧向力；Fyr为后轮侧向力。

(14)

(15)

式中：hi为各阶晃动质量到液罐底部的高度；h0为等效固定质量到液罐底部的高度；hg为侧倾轴到液罐底部的高度。

(16)

(17)

式中：It2为车轮绕其本身的旋转轴转动惯量；ky为轮胎侧向刚度；kz为轮胎垂向刚度；Fr为通过魔术公式得到的右轮侧偏力，γ为主销后倾角，ε为轮胎拖矩；l为主销延长线与地面交点到车轮对称面距离；f为滚动阻力系数；L为前轴轮距。

(18)

式中：Fl为通过魔术公式得到的左轮侧偏力。

(19)

(20)

根据第二类拉格朗日方程，得到系统的微分方程：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

4 算例分析及结论

为对比液体晃动对罐车的影响，以厦工某车型为分析对象，假设存在对比车型，罐内贮有相同密度，相同体积但不可晃动的固体，其他参数均相同。罐体尺寸长宽高分别为6 m×1.8 m×1.6 m，车辆其它参数如下表所示。

初始时车辆在平直的道路上匀速直线行驶，罐内充液比80%，以密度720 kg/m3的汽油为例，在1 s时刻，车轮驶过路面凹坑，前轮产生0.001 rad的摆角。

通过数值计算，得到车辆车身的侧倾如图9所示，由于罐内液体对罐体存在冲击，使得槽罐车的车身侧倾更加明显，同时使车身侧倾时晃动频率降低，达到稳态的摆动次数增加，并且达到稳态的时间有所延长。

表1 车辆参数

图9 车身侧倾对比Fig.9 Comparison of roll motion

图10为右前轮的摆角最大值随着车速的变化曲线。假设初始激励为右前轮发生0.001 rad的摆动，其中，横拉杆与梯形臂之间的球铰链间隙取值为0.2 mm。从图中可以看出，当不存在液体晃动时，在车速18 km/h时发生一次跳跃。在45～75 km/h速度区间，液体晃动与摆振现象耦合最剧烈，抵消了液体阻尼的抑制作用，在其他速度区间，摆振与液体耦合作用比较弱，阻尼充分占主导。

图10 摆振幅值分岔图Fig.10 Bifurcation of shimmy amplitude

图11和图12分别为60 km/h的情况下，存在液体晃动和无晃动时达到稳态后的动力学响应，通过对比可以发现，存在液体时，摆振的幅值会变大，同时振动频率降低，两种状况同样为周期运动，但存在液体时会使运动形态发生改变。

图11 考虑液体晃动时右前轮动力学响应Fig.11 Dynamic response of the right front wheel considering liquid sloshing

图13所示，在横拉杆与梯形臂间隙为0.2 mm和0.5 mm时，达到稳态后振幅会明显增大，但频率没有发生变化，同时会使前轮的摆动的相位发生变化。

为了考察不同充液比下液体晃动对摆振的影响，将车速设定为发生摆振最明显的60 km/h，对比贮有液体和等密度等体积固体的罐车在受到初始激励后的响应。如图14所示，贮有固体时其摆振近似线性增强；充液比很低和充满的情况下，贮有液体与固体差别不大；而在65%～85%的充液比下，液体的晃动对摆振的影响最大。

图12 不考虑液体晃动时右前轮动力学响应Fig.12 Dynamic response of the right front wheel without considering liquid sloshing

图13 不同间隙摆角对比Fig.13 Comparison of shimmy with different clearance

图14 充液比对摆振影响Fig.14 Effect on shimmy of different fluid filling rate

5 结 论

本文根据势流理论和拉格朗日方程，建立了十个自由度的槽罐车摆振动力学模型，并分析了液体晃动对车辆转向轮摆振的影响，并得到以下结论：

(1) 罐内液体的晃动会对罐车的前轮摆振产生影响，在低于45 km/h和高于75 km/h速度段，液体晃动存在的阻尼作用会抑制摆振的发生，而在45 km/h到75 km/h之间，会加剧摆振现象，使摆振峰值从0.006 rad增长到0.012 rad。

(2) 罐内的晃动会改变摆振的运动形态，振动频率降低，但依然是周期运动。转向系运动副间隙由0.2 mm增大到0.5 mm会明显加剧摆振现象，使其60 km/h的摆振峰值由0.012 rad增长到0.018 rad，但不影响振动频率。

(3) 在实际使用过程中，尽量避免80%左右的充液比，注意避开60 km/h左右的车速，转向系运动副间隙过大时应及时更换修复，可以有效减小摆振的影响。

[ 1 ] PACEJKA H B, PACEJKA H B. Analysis of the shimmy phenomenon[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Automobile Division, 1965, 180: 251-268.

[ 2 ] 张琪昌, 李小涛, 田瑞兰. 汽车转向轮摆振的稳定性及分岔行为分析[J]. 振动与冲击, 2008, 27(1):84-88.

ZHANG Qichang, LI Xiaotao, TIAN Ruilan. Study on stability and bifurcation behavior of a car turning wheel shimmy[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(1): 84-88.

[ 3 ] 陈铭年. 油罐车转弯横向稳定性的计算分析[J]. 汽车工程, 2001, 23(5): 359-360.

CHEN Mingnian. Calculate analysis of transversal stabilization for turning of oil tank truck [J]. Automotive Engineering, 2001, 23(5): 359-360.

[ 4 ] 管迪华, 陈小悦. 解放CA-10油罐车悬置上结构模态参数与导向轮自激振动[J]. 汽车工程, 1985(2): 3-12.

GUAN Dihua, CHEN Xiaoyue. The modal parameters of the suspension structure and the self excitation vibration of the steering wheel of FAW CA-10[J]. Automatic Engineering, 1985(2): 3-12.

[ 5 ] 陈益苞, Subhash Rakhej, 上官文斌. 罐体横截面形状对液罐车侧倾稳定性影响分析[J]. 振动与冲击, 2016, 35(6): 146-151.

CHEN Yibao, SUBHASH R, SHANGGUAN Wenbin. Modified design and safety analysis of tank cross section based on roll stability[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(6): 146-151.

[ 6 ] 杨秀建, 李耀平, 熊坚. 半挂汽车列车横向稳定性与失稳机理分析[J]. 汽车工程, 2011, 33(6): 486-492.

YANG Xiujian, LI Yaoping, XIONG Jian. Analysis on the lateral stability and instability mechanism of tractor-semitrailer combination [J]. Automotive Engineering, 2011, 33(6): 486-492.

[ 7 ] CHELI F, D’ALESSANDRO V, PREMOLI A, et al. Simulation of sloshing in tank trucks[J]. International Journal of Heavy Vehicle Systems, 2013, 20(1): 1-16.

[ 8 ] 丁遂亮, 包光伟. 任意三维贮箱内液体晃动的模态分析及其等效力学模型[J]. 力学季刊, 2004, 25(1): 62-68.

DING Suiliang, BAO Guangwei. Modal analysis and equivalent mechanical model of liquid sloshing in arbitrary 3D container [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2004, 25(1): 62-68.

[ 9 ] 杨义勇,金德闻.机械系统动力学[M].北京:清华大学出版社,2009.

[10] LU J W, XIN J Y, VAKAKIS A F, et al. Influences of system parameters on dynamic behavior of the vehicle shimmy system with clearance in steering linkage [J]. Journal of Vibration & Control, 2013, 21(2): 359-370.

[11] SOMIESKI G, SOMIESKI G. Shimmy analysis of a simple aircraft nose landing gear model using different mathematical methods[J]. Aerospace Science & Technology, 1997, 1(8): 545-555.