“函数的极值”的教学案例反思

连超先

摘要：本文探究了“函数的极值”的教学案例反思，希望能给我们的数学教学带来帮助。

关键词：“函数的极值”；教学案例；反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-0123

函数是高中数学的基础，也是其他知识的工具，函数贯穿于高中数学的始终，函数的极值是高考的热门考点之一。

案例描述及分析：

课前准备：备课内容，教学素材，导学案或者课件等。

要求学生结合以下问题阅读课本完成预习：1. 极大（小）值是否为给定区间内的最大（小）值？2. 极值点是函数定义域内的点，函数定义域内的端点可否为极值点？3. 在定义域区间上的单调函数有极值点吗？4. 极大值一定大于极小值吗？5. 在给定的区间内是否一定有极值点？若有，它的分布有规律吗？唯一吗？6. “极值点一定使导数为0，导数为0点一定是极值点”，对吗？7. 可导函数y=f（x）在x=x0处取得极值的充要條件是什么？

课堂中：按照既定的教学流程或导学案讲解，解决预习时留给的问题

问题的解答及反思：根据课本给出的概念，预习预留问题的答案，基本按照课本概念回答完成。

问题1：极大值是否为给定区间内的最大值？极小值是否为给定区间的最小值？

学生回答：不一定是。

反思：大部分的学生都能给出正确答案，还有个别同学也提出了一些问题。后期反思这个问题的设计，笔者认为这个问题的设计有两点不足：（1）问题设计的不够严谨，要说明给定的是闭区间还是开区间。（2）这个问题出现的过早，更适合留在下一节函数的最值中提问，学生虽然初中有接触，但没有系统的学习过最值，所以介绍完最值的概念再回答这个问题可有对比性，学生更能区分两者，加深对极值概念的理解。

问题2：极值点是函数定义域内的点，函数定义域内的端点可否为极值点？

学生回答这个问题稍有些困难。引导学生运用概念进行判断。

问题3：在定义域区间上的单调函数有极值点吗？

学生回答：没有。

反思：这个问题设计的位置不是很好，问题不够严密。

问题4：极大值一定大于极小值吗？

学生的回答不统一。课上请回答正确的同学讲解，他们借助课本上给出的图象进行分析讲解。

反思：每个学生阅读课本的效果是不一样的，这样的话，老师可以在学案上有阶梯性、针对性的对学生进行提问，如可将其改为：一个函数的极大值一定大于极小值吗？请画图说明。这样可以使不同层次的学生从不同的途径探究问题。

问题5：在给定的区间内是否一定有极值点？若有，它的分布有规律吗？唯一吗？

学生可以根据上几个问题的答案及图像很容易找出问题的答案。

反思：这个问题学生回答的特别轻松，有的学生表情反映出他认为该问题太简单。这个问题的前半部分与问题3有重复的部分，后半部分问题可以在问题4所做出的图象中当堂提问，不必再写在导学案中。问题的设计要精炼，尽量不要重复，做无用功，虽然是课前预习，但课上也要与学生共同整理答案，时间是宝贵的。

问题6：“极值点一定使导数为0，导数为0点一定是极值点”，对吗？

学生回答的效果不是很好，有很多同学只能判断出前一部分。

反思：一部分学生在运用导学案时，像这样的问题只会考虑从概念中找，但是这个问题可以和例题相结合，在应用中进行判断也是很好的。所以，这个问题也可以提示学生在做例题时找寻答案。例1变式就可以解决这样的问题。

问题7：可导函数y=f（x）在x=x0在处取得极值的充要条件是什么？

学生在上一个题目的基础上回答得较好，课堂上提示学生求极值点及极值时要多想想这句话。

根据学生回答，我们将问题总结、探究讲解，如下：

<问题探究一>：阅读课本P26-P27，通过思考下列问题进一步加深对极值概念的理解。

1. 在高中知识的基础上，阅读了极值点、极值的探究过程，你认为极值点在函数中起到一个什么样的作用？在定义域内单调函数是否有极值点？

2. 一个函数是否一定有极值？若有，则极大值和极小值是否唯一？

3. 一个函数的极大值是否一定大于极小值？请画图说明。若无法判断，请参考课本P27图1.3-11解答。

4. 函数的极值点是否会出现在区间的端点处？

<知识点一>：函数极值的定义

已知函数y=f（x），其导函数为y=f ′（x）。

1. 若f ′（a）=0且在x=a附近左侧f ′（a）>0，右侧f ′（a）<0，则点a是函数y=f（x）的 ，f （a）叫做函数y=f（x）的 。

2. 若f ′（b）=0且x=b在附近左侧 ，右侧 ，则点b是y=f（x）函数的极小值点，f （b）叫做函数y=f（x）的 。

3. 极小值点、极大值点统称为 ， 统称为极值。

<问题探究二>：

1. “极值点一定是导数为0，导数为0的点一定是极值点。”对吗？

2. 可导函数y=f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是什么？

<知识点二>：求函数极值的步骤（阅读课本例题后完成）

（1）已知函数y=f（x），其导函数为y=f ′（x）。

（2）确定函数的定义域，求出函数y=f（x）的 ；

（3）求解方程 的根（注：在定义域内）；

（4）分析f ′（x）在方程 的每一个解x0两侧的符号（或者f（x）在x0两侧的单调性），确定极值点，并求出极值。

①若f ′（x）在x0两侧符号为 ，x0为极大值点；endprint

②若f ′（x）在x0两侧符号为 ，x0为极小值点；

③若f ′（x）在x0两侧符号相同， 。

学习小结：

课堂上处理这部分是在问题解决完后统一和学生对了一下答案，但感觉有些内容和前面有重复，而且认真阅读课本的同学都不难在课本上找见，但从后面例题完成情况来看，还是有同学出现了问题，说明只是把课本的内容摘抄了下来，但是并没有真正的理解消化，尤其是<知识点二>的内容。

反思：这部分内容可以结合它的难易度安排顺序，可在前面思考问题中穿插进去这样也可以节省时间，衔接的很好，也不会觉得讲解知识时重复。<知识点二>可以放在处理完题型一后让学生来根据求解过程进行总结，这样就不会纯粹的抄课本。修改如上所给出内容。

【典例分析】：

题型一：利用导函数求函数的极值

下图是导函数y=f ′（x）的图像，试找出函数y=f（x）的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。

[指导分析]：根据极值点的概念进行判断。

[完成后思考]：极值点的分布有怎样的规律？

例1. 求函数f（x）=x4-4x3+1的极值.

[指導分析]：根据求极值的步骤求函数的极值，注意使导数为0点是否一定是极值点。

练习：已知函数f（x）=■+lnx，求f（x）的极值.

题型二：函数极值应用的逆向问题

[探究]：若已知函数的极值，如何求解函数中参数的值？

例1. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2.在x=1时有极值10. 求a，b的值.

[指导分析]：如果要求解参数的值，需联立方程组，那么通过极值点与导数的关系，可得到哪些等量关系？

变式：已知函数f（x）=-x3+2cx2-c2x+1.在x=2在处有极大值，求c实数的值.

题型三：函数极值的综合应用

[探究]：利用导函数可以研究函数的单调性和极值，通过单调性可以研究函数图象的变化趋势，通过极值可以研究函数图象的什么特征？

例1. 已知函数f（x）=-x3+3x+a（a∈R）

（1）求函数f（x）的极值；（2）当a为何值时，方程f（x）=0恰有2个零点.

[指导分析]：（2）中如果能确定函数的图象及在平面直角坐标系中的大致位置就容易判断零点的个数了，那么需要确定函数的哪些性质、函数中的哪些量？

[完成后思考]：该函数的零点个数还可以有哪些情况，并找出每种情况成立时的取值范围。

变式：若函数f（x）=ax3-bx+4，当是x=2，函数f（x）有极值-■.

（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）=k有3个解，求实数的取值范围.

总结：

本节内容整节课讲完后总结出以下几点不足：（1）问题设计的顺序不是很合理，稍有些乱，只限于提出了问题，但并没有考虑到在学生阅读课本学习时，他们思维的过程。（2）问题设计时不够精炼，有重复。（3）问题设计可以结合课本标明可以在阅读或完成什么内容时来思考。（4）问题设计必须考虑学生的“最近发展区”，建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。（5）有效的提问，才能引导学生正确的分析问题，解决问题，达到预期效果。有效的课堂提问是师生之间进行思维交流对话的过程，思维能力的发展是有效课堂提问的核心及宗旨。总之，有效的课堂提问要深浅适宜、难易适度、灵活多变、准确精炼。

（作者单位：山西省太原市第二十中学校 030000）endprint