分类思想在初中教学中的渗透

王荣昇

摘要：本文分析了分类思想在初中教学中的渗透，希望能给我们的数学教学带来帮助。

关键词：分类思想；初中教学；渗透

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-0080

数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学分类思想就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。分类思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1. 根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1.-25+-26-96--39=

这是按绝对值的意义进行分类。

2. 根據数学的法则、性质或特殊规定进行分类

学习一元二次方程根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。

例2. 解关于x的不等式：ax+3>2x+a

分析：通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。

当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x>■

当a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1

因为0≠-1，所以不等式的解是一切实数。

当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x<■

3. 根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 .（2008年河南中考题）

分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，可得腰上的高。或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类。

在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

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三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性和缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例4. 已知函救y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是实数）。如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m-1=0 和 m-1≠0 两种情况来研究解决问题。

解：当m=1时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当 m≠1 时，函数就是一个二次函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1

当Δ=0，得 m=0.

抛物线 y=-x2-2x-1，的顶点（-1，0）在x轴上

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常明了。另一方面在讨论中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其他数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。笔者相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效的。

（作者单位：山西省河曲县教学研究室 036500）endprint