高中数学变式教学的若干思考

☉江苏省扬州市邗江区瓜洲中学 葛 光

在高中数学教学中，教师经常有这样的体会：学生在分析问题时往往会由于某种框架束缚，以至于他们的思维没有彻底打开，学生也经常受困于题海战术的怪圈，学生这样的学习显然不利于自身发展，也无助于他们能力的提升.怎样改变这一现状呢？笔者认为，我们可以采用变式教学，让学生在变化的情境中活化自己的认识，并不断调整自己的思维，这样的处理有助于学生发现知识之间的内在关联，他们的思维能力也将由此而得到提升与发展.

一、高中数学变式教学的基本要求

变式教学绝不是漫无目的地变化和调整，很多教师在教学时当一个问题讲完之后，就会将类似或相似的问题呈现给学生，这样的处理将导致学生陷入题海战术的泥沼，无助于他们的发展需要.因此，笔者认为变式教学的首要关键在于针对性，比如，在概念教学的过程中，我们可以适当对概念进行变式，以促使学生对概念形成更加全面而深入的认识；在习题教学中，我们通过典型题型的变式处理，可以加强数学思想方法的渗透，以帮助学生实现归类和总结；在复习课堂上，我们通过变式可以指导学生加强知识和方法的横向和纵向的比较，促使学生实现相关技能的融会贯通.

高中数学的变式教学还要强调适用性，即我们的变式应该匹配学生发展的需要，因此在组织变式教学之前，我们要研究课程标准，并有效研究学生的最近发展区，综合多方面的因素来设计变式.此外，我们的变式还要强调启发性，要能有效激活学生思维，引领学生向更深层次发展自己的认识.而且有关变式还要强调创新性和趣味性，要让学生能够产生耳目一新的感觉，从而强化学生的探索兴趣和研究热情，这样的变式教学也必将提升学生的学习效率.

二、变式教学要强调学生对概念的认知和理解

学生思维发展的基础是数学概念，只有深入理解并掌握数学概念，学生才能灵活地使用其来完成问题的分析和解决.为了促使学生提升概念认知的效率，我们就需要借助变式教学，而且某些概念的理解还具有层次性，因此我们的变式也要注意分层处理，为学生搭建逐级认知的台阶.

比如，在指导学生研究“函数单调性”的概念时，学生先形成“增函数”的结论：一般地，在函数f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么，就称函数f（x）在区间A上是增加的，即单调增函数.

变式1：如果存在x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么函数f（x）在区间A上还是不是增函数？（这属于非概念变式，有助于学生对概念的外延形成认识）

变式2：如果函数f（x）在区间A上是单调增函数，现有x1＜x2，是否能确定f（x1）＜f（x2）？（这属于非标准变式，有助于学生深度认识概念的本质）

变式3：如果函数f（x）在区间A上是单调增函数，现有f（x1）＜f（x2），是否能确定x1＜x2？

变式2的设计是从自变量出发研究函数值，变式3则是反过来的一种推导，这一步的变式完全可以由教师适当启发，由学生自主进行组织，如此即可让学生获取更高层次的认识，学生对概念的理解也将更加深刻.

三、变式教学引导学生在灵活思维中深入认识

训练学生思维的灵活性是变式教学的一大目的，但是如果仅止于此，则弱化了变式教学的功能和价值，为了更好地让变式教学发挥成效，笔者认为教师还应该在变式教学中引导学生展开反思，启发学生在反思中进行总结，如此就能让学生经历数学结论和规律的形成过程，这样的处理必然会锻炼学生的数学思维，提升他们的认识.

在指导学生研究椭圆时，我们遇到这样一个例题：现有点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），已知直线AM和BM相交于点M，而且两直线的斜率乘积为，求点M的轨迹方程.

上述问题的答案为 （x≠±5），本题实际上也揭示出定义椭圆的一种方法，所求曲线方程中的，这是一种巧合，还是一种必然呢？如果将条件适当变化之后，结论还成立吗？按照这一思路，我们将问题中的条件和结论进行互换，可以得到以下变式问题：已知椭圆的方程为 ，它有两个顶点A、B，其坐标分别为（-5，0）和（5，0）.设椭圆上某异于两个顶点的任意点M，求证

当学生完成对变式问题的思考后，我们应该启发学生尝试进行总结，并形成结论1：已知椭圆C的方程为a＞b＞0），它的两个顶点分别为A（-a，0）和B（a，0）.那么对于椭圆上异于顶点的任意一点M，有kAM·kBM

我们引导学生对结论1展开进一步的反思：对于椭圆上长轴的两个端点存在上述结论，那么椭圆短轴的两个端点是否也存在类似的结论呢？再启发学生通过猜想，最终通过证明形成结论2：已知椭圆C的方程为它的两个顶点分别为A（0，-b）和B（0，b）.那么对于椭圆上异于顶点的任意一点M，有kAM·

当然反思和总结没有在此结束，将两个结论合二为一，学生还将形成这样的认识：已知椭圆C的方程为那么对于椭圆上异于长轴的两端点（或者短轴的两端点）的任意点M，有该点到两端点的直线的斜率乘积为定值，即

四、变式教学要推动学生思维的螺旋式提升

要让学生的思维得到训练，让他们的数学能力得到发展，这需要我们的变式教学能够由浅入深地展开，为学生的思维提供一个可以螺旋提升的空间.这一点在高一和高二的数学教学中尤为明显，这一阶段的教学要侧重于学生的基础，绝不能将所有的问题一股脑地抛出来，“将高一当做高三来教”的教学怪圈其实还是应试思维来作祟，所以我们在教学中应该积极予以避免.

比如，指导学生研究“基本不等式”的问题，我们提供这样的问题：若x＞0，请确定（fx）的最小值.

变式1：若x≠0，请确定的最小值.

该变式考虑到学生使用某些规律时可能会忽视正数的条件，而这里的处理则要求学生必须分正数和负数这两类问题来进行讨论.

变式2：若x∈R且x＞3，请确定的最小值.

该变式考虑到“正数”这一因素，但是却要求学生明确“乘积是否为定值”，即学生需要拼凑出“x-3”这一项.

变式3：若x∈R，请确定+sin2x+1的最小值.

“等号是否能够取到”是学生在问题分析时最容易忽视的问题，因此本题的处理需要学生结合函数单调性进行处理.

以上三个变式构成了一组层层推进的习题链，推动学生的思维螺旋上升，逐步加深对基本不等式的理解和认识，同时问题还重点考查了学生类比和推理的能力，这都有助于学生思维意识的进一步发展.

在高中数学课堂上，我们采用变式教学的目的在于让学生在变化的情境中感悟数学不变的本质与思想，由此帮助学生实现知识的融会贯通，进而让学生充分领略到数学学习的乐趣.总之，在新的课程体系下，教师要积极更新观念，有效做到因材施教，并不断完善变式教学，促成学生探究意识和基本能力的发展，推动他们数学核心素养的培养.

1.朱松林.变式延伸从最近发展区开始［J］.中学数学月刊，2013（1）.

2.陈爱秀.数学概念教学中问题情境预设的策略［J］.上海中学数学，2012（z1）.F