从“初等函数的简单组合”谈函数命题中的“核心素养”*

☉江苏省苏州实验中学 章祥俊

☉江苏省苏州学府中学校 席月琴

函数综合题是江苏高考和江苏各地模拟考试始终坚持命制的，一般会给出函数解析式的形式且常含参系数，也就是以研究动态函数的变化为主要考查目的.所以题目的类型以动态函数的特性（或一个动态函数与另一个常态函数的特殊关系）为标尺，考查学生数形结合、分类讨论、参变分离等综合分析、解决数学问题的能力，一般以把关题的形式出现在试卷中.本文从“初等函数的简单组合”谈函数综合题在命制的过程中如何体现数学核心素养.

例1（2015年连云港三模）函数f（x）=ax-x2（a＞1）恰好有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

考试情况：本班46人参加考试，有2人解答正确，正确率仅为4.3%.

考情分析：学生以前曾经通过二次求导的方法，正确解答类似题目：求证函数f（x）=ex-x2（x＞0）没有零点.也有极少数学生将不等式ex＞x2两边同时取对数，转化为x＞2ln x，然后再研究.但绝大多数学生的“最近思维区”为第一种解法.上述例1的解答中，有44人均采用此解法，但无一人能给出正确解答，主要原因是因为（ex）′=ex，多次求导后形式不变，而（ax）′=axln a，多次求导后形式比较复杂，无法给出正确的解答.

解题分析：x=0显然不是函数（f x）的零点，并且当x＜0时，函数（f x）显然有一个零点，所以当x＞0时，函数（f x）有两个不同的零点.当x＞0时，由ax=x2，等式两边同时取对数得x ln a=2ln x，即ln a==0，得x=e.所以函数g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减，所以g（x）的最大值为g（e）以1＜a＜时，函数（f x）有两个不同的零点.

考题分析：目标函数f（x）=ax-x2（a＞1）其实就是由两个初等函数y=ax和y=x2简单组合而成，这样的组合既保持了原有函数的“原味”，又体现了组合时的“灵动”.因为y=ax与y=logax互为反函数，所以上述解答并非是“无源之水”.数学学科能力是数学学科素养的核心，探讨基于数学核心素养的分析问题能力培养具有十分重要的意义.初高中数学教材中有多个初等函数，它们之间是有密切联系的.在问题解决的过程中，不同的审题视角将导致不同的分析思维.因此在具体的教学实践过程中，对不同函数资源进行有效组合，还是很有必要的.［1］我们在教学时，要有意识地和学生一起研究这类通过组合而形成的“新”的函数，例如，初等函数y=x，y=ex，y=ln x之间可以简单组合成一些“新”的函数：y=ex-x，y=ln x-x，y=x ln x，y=x ex，y=通过这种“微专题”的集中研究（过程略，读者朋友可自行研究），学生可以感受到“新函数”的产生是“有章可循”的.再次遇到诸如这样的函数（f x）=ex-ln（x+2），就能比较容易地转化为研究函数g（x）=ex-（x+1）与h（x）=（x+1）-ln（x+2）了（可以通过图像法找到函数y=ex与y=ln（x+2）的“中间函数”y=x+1）.在教材变革的影响下，研究教材成为教师必须思考的问题.数学核心素养提高的“源头”在于教材资源的有效整合，在于教师需要意识到课程标准与教材之间存在无限可能的开发和组合空间，并以课程标准为依据对教材进行二次开发和设计.

例2（2015年盐城模拟）已知函数（f x）=ln x.

（1）求函数（f x）的图像在x=1处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，使得）都有函数的图像在函数图像的下方？若存在，求出最大整数k的值；若不存在，请说明理由（.参考数据：ln2=0.6931

考试情况：甲、乙两个班级分别有学生45、46人，第（3）小问得到满分的人数分别为甲班12人和乙班39人.（本文只分析第（3）小问）

考情分析：两个班级的情况为什么有如此大的区别？前一个班级（甲班）的学生在得到k＜ex-x ln x后，对函数y=ex-x ln x的研究大多使用的是多次求导的方法，理由说不清楚.而后一个班级（乙班）的学生对函数y=ex-x ln x求导后，将对导函数y=ex-ln x-1的研究转化为研究函数y1=exx和y2=x-ln x-1，学生研究这两个函数（前文例1中已作研究）是非常容易的.产生如此巨大差别的根本原因在于：甲班的学生没有通过微专题的形式研究“初等函数的简单组合”，而乙班的学生对这个微专题是认真研究过的，所以他们在看到本题中的函数是由反比例函数、指数函数、对数函数等初等函数组合而形成时，很快就想到了他们曾经研究过的那些“新”函数.

解题分析：由题意得，恒成立，即k＜ex-x ln x.构造函数h（x）=ex-x ln x），则h′（x）=ex-ln x-1.令F（x）=ex-x，G（x）=x-ln x-1，易得F（x）=）上单调增，所以是一个运算技巧，学生需要适当的掌握这种技巧）.G（x）上单调减，在（1，+∞）上单调增，所以G（x）≥G（1）=0，因此h（′x）＞1＞0，所以h（x）在）上单调增，又所以满足题意的最大整数k的值为2.

考题分析：对函数y=ex-x ln x的研究若使用多次求导的方法，主要有这样几点学生没能表述清楚：（1）h（″x）=上为什么存在零点；（2）h″（x）=ex-上为什么只有一个零点；（3）h″（x）=上的零点（零点不易求解时）问题的处理.产生以上情况的原因在于h（″x）=是由初等函数y=ex和组合而成，它们的图像都是曲线形式，求导后的导函数图像还是曲线的形式.而函数F（x）=ex-x，G（x）=x-ln x-1是由初等函数y=ex和y=x，y=ln x和y=x-1组合而成，对于这种形式的“初等函数的简单组合”学生是比较容易研究的.数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现，它是在数学学习过程中逐步形成的，通过函数的组合教学实现解一题并通一类，是数学教学的终极目标.［2］在探究函数组合教学的过程中，有效地加强函数之间的联系，实现横向交叉和纵向交错，从而形成广阔的审题视角，培养思维的灵活性.

细细回味，我们遇到的很多函数“难题”，拆分之后都可以发现，这些“难题”是由“原味”的初等函数“灵动”的组合而成.例如：（2013年江苏高考第20题）设函数f（x）=ln x-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.又如：（2017年泰州、泰兴、靖江三校联考第13题）已知不等式x ex-1≥ln x+kx对x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的最大值.（读者朋友可自行研究）

初等函数的“原味组合”就是在函数考查中突出检验学生对函数的感知、体验和积累，强化其对基础知识和基本技能的学习和训练，积极引导学生自主品尝“原汁原味”的知识盛宴的过程.在当今各种教育教学理论“乱花渐欲迷人眼”的环境下，“原味组合”教学提醒我们要保持一种清醒和理性，保持教学的本真和本色.遵循这种“原味组合”的原则，就是培养学生数学核心素养的具体表现，它既能从纵向上追溯教材知识体系的认知与梳理，也能在横向上加强各个函数之间的联想与联系，让学生在感受函数多种组合过程中学习数学、掌握数学，这种处理方式，将尽可能地减少数学结构变化给很多学生学习数学带来的畏惧感，真实提升他们的核心素养.

1.王耀，陈兆华.核心素养指导下的数学解题实践与反思［J］.中学数学月刊，2017（4）.

2.唐永.剖析逻辑漏洞 提升核心素养［J］.中学数学月刊，2017（4）.F