关注过程教学 提升数学素养*

●林 昀 (衢州市实验学校，浙江 衢州 324000)

1 研究背景

数学是“站在巨人的肩膀”上发展的，数学新知识的产生是以已有的数学内容为基础的．而数学概念是构成定理、法则、公式等的基础，因此是否理解概念的本质对数学学习有至关重要的影响．数学概念又是理性思维的产物，且具有一定的抽象性．若能在学生接触概念之初，通过一定的教学活动来突显数学概念的本质，这对学生学习和理解概念是十分有益的．

《义务教育数学课程标准(2011年)》在教学建议中明确提出，加强过程教学是提升数学素养的重要途径，同时，让学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径［1］．著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔也认为，数学教学要关注数学过程，体现数学学科的本质．因此，教学中要重视过程教学，展现知识的形成过程，强化数学知识间的内在联系，促使学生理性思维、科学精神的形成以及思维能力、实践能力和创新意识的发展．

下面以浙教版“同底数幂的除法(第二课时)”为例，来说明如何将数学教学活动与数学概念的产生和发展有机结合，让学生在积累数学活动经验的同时，促使其理性思维、科学精神的形成，以及数学素养的提升．

2 教学案例展示

浙教版“同底数幂的除法(第二课时)”是同底数幂相除的法则(am÷ an=am－n，其中 a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)后的学习内容，本节课的主要内容是两个规定:1)零指数幂运算法则:a0=1(其中a≠0);2)负整数指数幂法则:中a≠0，p是正整数)．事实上，这两个规定不是从同底数幂的运算推导而来，也不是随意规定的，而是根据数学知识的产生和发展需要进行合理的规定，即这两个规定与已有的运算法则保持和谐一致，也使得指数的概念能从正整数推广到整数，同时正整数指数幂的各种运算法则也随之推广，体现了数学体系建设的严谨性、相容性、完备性．由此，浙教版“同底数幂的除法(第二课时)”的教学不能简单采取“记忆+练习”的模式进行．而应在学生已有的数学活动经验上设计合理的数学问题，充分展现该规定的“过程”，引导学生感悟这种“规定”的必要性和合理性．

浙教版“同底数幂的除法(第二课时)”大致可分5个环节，简要的教学过程及设计意图如下:

环节1猜想:20=1．

引导学生分别用除法和同底数幂除法的运算法则计算23÷23．从而得到23÷23=1和23÷23=23－3两种结果，顺势追问:怎样解释用不同的方法计算同一算式所得到两种不同的答案?从而促使学生大胆提出猜想20=1．接着追问:为什么会提出这个猜想?

设计意图从学生已有的知识出发，运用不同的计算方法得到不同形式的答案，这一过程引起了学生的认知冲突，充分调动学生的积极性和求知欲望．本环节通过教师的层层追问，直奔主题，“自然”引出“20=1”这一新概念．同时使学生感受到20=1并不是凭空创造的，而是数学知识发展(运算)的需要，即当被除式的指数与除式的指数相等时，要使得同底数幂除法的运算性质能使用，必须要有20=1成立．

环节2质疑、验证．

1)通过举例引导学生感受猜想的合理性，如细胞分裂:一个细胞分裂1次变成2个，分裂2次变成4个，分裂3次变成8个，那么一个细胞没有分裂时的个数为多少?学生通过思考活动，就能比较充分地感受到“20=1”的合理性，于是作出“零指数幂”意义的规定:a0=1(其中a≠0)．

2)验证这个规定与“除法定义”“原有同底数幂的除法法则”是和谐一致的，即由同底数幂的除法法则得a3÷a0=a3－0=a3，这与根据零指数幂的规定得a3÷a0=a3÷1=a3是一致的．

活动小结对环节1和环节2的数学探究活动进行小结．

设计意图通过举例和运用法则进行验证，让学生感受到这个规定既符合实际背景，又符合原有的运算法则，培养学生的质疑能力、理性思维，发展批判性的思维品质，形成科学精神．事实上，数学上的规定并非随意的，都必须合情合理，方便数学研究交流．活动小结的目的在于总结过程所获得的数学活动经验和感受，为后面探究负整数指数幂积累经验．

环节3类比探究:规定其中 a≠0，p是正整数)的合理性．

1)首先用不同的方法计算2－3，然后猜想，接着计算，最后通过字母进行验证，得出规定a(其中a≠0，p是正整数)的合理性．

2)追问:规定中的p为什么是正整数?

设计意图问题1)是通过类比探究a0=1合理性的过程，探究规定(其中 a≠0，p是正整数)的合理性，让学生再次经历计算、猜想、验证的过程，积累数学活动经验．问题2)的提出促使学生思考规定的合理性、规范性，再次感受数学上的规定是有迹可循的，并非随意．这一过程不仅仅是对零指数幂研究经验的运用，同时也积累了新的数学活动经验:新的数学问题可以转化为已解决的数学问题进行研究．

环节4巩固练习．

1．用分数或整数表示下列结果:

1)10－3; 2)(0．5)－3; 3)( －3)－4．

2．计算:1)950×(－5)－1; 2)a3÷(－10)0;

3)( －3)5÷36．

3．把下列各数表示成a×10n(其中1≤n＜10，n为整数)的形式:

1)12000; 2)0．0021; 3)0．0000501．

设计意图第1题涉及负整数指数幂的直接应用．第2题涉及负整数指数幂的混合运算，一般有两种处理方法:一是把负整数指数幂先化为正整数指数幂，然后计算;二是在整数范围内使用幂的运算法则计算，但不论哪种方法，最终的结果都不能出现负整数指数幂的形式．第3题是用科学记数法表示绝对值较小的数是负整数指数幂的一个重要应用．这个过程的目的是让学生及时理解和巩固相关知识，同时还让学生感受幂运算的法则已经推广到整数范围内，体现“规定”的重要性、必要性及和谐统一性．

环节5总结感悟．

师:谈谈本节课的收获与体会．

学生不仅说出了本节课的知识，并且还指出了这样规定的合理性和必要性:运算的需要．正是这个规定，使得正整数指数的法则推广到整数范围内，这种推广与数从正数扩充到有理数范围相类似．本节课研究问题的方法是:先猜想，再验证．

设计意图通过这个环节，师生一起梳理知识，同时指出这两个规定与已有的运算法则保持和谐一致，也使得指数的概念及同底数幂的运算法则从正整数推广到了整数，正体现了数学体系建设的严谨性、相容性、完备性．总结反思数学概念的形成过程，有利于学生数学活动经验的升华，形成理性思维、科学精神，提升核心素养．

3 教学反思

3．1 基于概念产生路径，找准教学方向

浙教版“同底数幂的除法(第二课时)”是一节概念教学课，而这一数学概念是从数学内部需要产生出来的，即从同底数幂的运算中产生出来的．教学中呈现数学概念的产生与发展过程，有助于帮助学生理解“规定”的合理性、和谐一致性．因此本节课的教学定位是从数学内部需要入手，进行合理的教学设计．于是本案例抓住新旧知识的内在联结，遵循知识的递进关系，巧妙地进行教学设计，既回顾旧知(同底数幂的除法)，又“自然”地引入新知(a0=1(其中a≠0)这一个规定)，使学生感受到新知的“自然”产生过程，同时激发学生的认知冲突，调动学习的积极性，接着学生经历了对新知的质疑、验证等环节，帮助学生准确理解a0=1(其中a≠0)这一数学概念．

3．2 基于形成理性思维，精心设计活动

质疑是培养批判性思维品质的必经之路，批判性思维是一种实事求是、周密缜细的思维，它是辨别是非、评价优劣的一种思维品质．教学过程中要潜移默化地培养思维的批判性，使学生养成一种实事求是、求真务实的科学态度．案例中对“a0=1(其中a≠0)”的合理性探究经历了质疑、验证、释疑过程，学生的思维品质得到了较好的锻炼．

3．3 基于积累活动经验，反思探究过程

课堂小结环节不仅要引导学生回顾所获得的数学知识，还要引导学生反思概念发生、形成的过程，通过反思数学活动、内化数学活动，完成数学活动经验的总结与升华，使得学生在掌握知识的同时，感受研究问题的一般策略，提升思维品质，发展数学素养．本案例中，通过对“零指数幂的规定”这一合理性知识的理解与掌握，感受了问题研究的思路，尤其是当目前知识无法解决或不方便解决时，引进新的内容可使原问题得以解决，同时所引进的“新成员”必须与原有的数学知识相容、和谐、统一，因此通过对“a0=1(其中a≠0)”的探究活动所获得的数学活动经验，能科学地探究其他相关的数学问题．