优化算法 提升数学运算核心素养*——以2018年浙江省数学高考试题为例

●曹方圆 (温州市第二十二中学，浙江温州 325000)

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准(2017年)》提出了数学学科六大核心素养，其中包括数学运算．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．数学运算是解决数学问题的基本手段，它是一种演绎推理，是利用计算机程序化解决问题的基础．可以说，没有运算就没有数学．培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题［1］．

数学运算是教师教学的“痛点”，学生学习的“惧点”．数学运算能力的现状是:学生面对数学问题一看就懂，一听就会，一做就错．作为数学教师，如何改变学生运算能力现状，提升学生数学运算核心素养呢?就教学实施而言，能力的培养必须根植于相应的知识．在高中阶段，发展数学运算能力的主要知识载体有不等式、函数、数列、向量、解析几何、计数原理等．在高考等限时测试中，为提升解题的速度和准确性，除了应试者本身的运算功底等主观因素外，不能忽视的是算法的优化．以下，笔者以2018年浙江省数学高考卷中的解析几何、函数、数列考题为例，谈谈如何优化算法，提升数学运算核心素养．

2 提升数学运算核心素养的主要途径

2．1 解析几何，以统一变量为目标

如果在长期的教学中重演算、轻算理，就难免落入形式化、程序化等机械训练的窠臼中，学生必然会感到厌烦、枯燥、惧怕．任何一种算法都应该是讲道理的，忽视运算中的逻辑思维成分也就使得计算沦为纯粹的技能训练，根本无法招架综合性的问题．因此，把运算的过程理解为推理的过程，将运算教学的重点落在思考与计算的统一，发展学生的思维水平，方能更好地体现运算能力对于核心素养发展的价值［2］．

很多学生对解析几何综合问题几乎到了“谈虎色变”的地步，究其原因，可以概括为两个:“消不去”(即设定参数消不了)，“算不对”(即运算出错)［3］．而突破它们的法宝便是寻求“变量统一”．其中x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

图1

(2018年浙江省数学高考试题第21题)

分析该题求解的思路比较明显，容易建立解决方案:1)通过证明yM=yP得到;2)建立S△PAB与xP或yP的函数解析式，求函数的值域．

2．1．1 合理引参，解决“消不去”的问题

引参、消参是解决解析几何问题的基本策略，设定的参数消不去是学生解题时经常遇到的障碍．由于坐标法本身涉及的字母符号较多，运算过程较

例1如图1，已知点P是y轴左侧(不含 y轴)一点，抛物线C:y2=4x上存在两个不同的点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

1)设 AB中点为 M，证明:PM⊥y轴;

2)若 P是半椭圆 x2+复杂，故在引参时，必须结合几何图形或所给的方程，最大限度地降低运算的难度．

在引参时，可以根据几何图形的对称性(点A，B地位等价)来设点的坐标，由于已知点A，B所在的抛物线方程，故只需要引入两个变量y1，y2，设，便可以高效地解决引参的问题．学生中常见的不恰当的引参做法有:在设点A，B的坐标时，有引入4个变量的，如 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其，没有充分利用“点在曲线上”的已知条件，引入过多的参数，致使最终化简时理不清主线而失败;利用x1，x2将点A，B 设成 A，虽然不会增加变量的个数，但由于存在根式的运算，加大了化简的难度．

由上述分析知，在教学中应教会学生引参的方法:用足题目所给的条件，减少和化整引入的参数，可以有效简化运算，提升运算效率．

2．1．2 明晰算理，解决“算不对”的问题

学生算不对的原因:一是基础知识不扎实，代数式的运算不过关;二是算理不清楚，没有理清化简方向．教师要以解析几何为载体训练学生的运算能力，帮助学生明晰算理，培养求简意识，锻炼耐心和恒心，全面发展学生的数学运算核心素养．

1)借助几何特征，简化表述．

在第2)小题中求△PAB的面积，有很多算法，比如一般较为容易想到的是以边AB为底、P为顶点的△PAB，其面积可表示为

或者利用|AP|，|BP|以及夹角，即

显然后者要求的量更多，表示起来很复杂．前者虽然|AB|可用弦长公式计算，即

h可用点到直线的距离公式计算，即

这也是平时训练较多的方法，不会陌生，但是无论计算|AB|还是h，都有一定的运算量，而且最后还要统一参数，划归为求函数值域的问题．对于运算能力不过硬的学生来说，在限时测试的利益权衡中，极为容易放弃．

根据第1)小题的结论，怎么求S△PAB更方便?我们容易从该题特定的几何特征中发现面积用水平宽乘铅垂高的算法，即

解析几何问题往往由于所给问题有较好的对称性和对等性，使得其代数运算也有较好的对偶与对等，如果能充分利用其内在的这些美学因素，必将使运算更为自然而有规可循．在日常教学中，我们需要指导学生随时调整运算方向，少走运算弯路，避免瞎撞乱碰、随意乱算，使运算繁冗而难以继续．

2)找准目标方向，按需化简．

将三角形的面积表示为

后，我们发现有3个变量 y1，y2，x0．处理多变量函数问题的核心就是减少变量，最终统一划归为单变量．考虑该题的几何特征，由于点A，B地位等价，必然要将最终的变量统一到x0．明确目标之后，便确定了化简的方向，这里的处理比较常规，就是运用韦达定理

3个变量减少至2个变量，走出了通往胜利的第一步．由于已知中给定P(x0，y0)所在的曲线方程，因此可以进一步用x0表示，从而成功地划归为单变量函数的值域问题．因为

在解析几何运算中常常要涉及直线方程和曲线方程的联立消元整理问题，而这步运算的错误率很高．由于消元整理一步的错误，造成以下“工作”全面乱套，破坏了数学内在结构的完美与和谐，使运算钻进繁琐复杂的死胡同而彻底失败．因此，有必要研究这步运算的合理性和科学性，既要速度又要正确率，那就是抓住“主元”，明确化简方向．

2．2 函数零点，以极限估算为手段

估算能力是指个体在利用一些估算策略的基础上，通过观察、比较、判断、推理等认知过程，获得一种概略化结果的能力．估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值．在教学中，我们一般采用“先估后算”，让学生感受估算既可以为问题的解决提供有效的策略，又能够在精确程度要求不高的情况下节约时间成本，提升运算效率．如:

例2已知函数

1)略;

2)若 a≤3－4ln2，证明:对于任意 k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一的公共点．

(2018年浙江省数学高考试题第22题)

分析证明直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一的公共点，即证明函数g(x)=f(x)－kx－a有唯一的零点．用零点存在定理证明存在性，再通过求导分析单调性来证明唯一性．

用零点存在定理的关键是需要找到给定区间，在该区间的m处有g(m)＞0，在n处有g(n)＜0．比如该题的参考答案给出:令 m=e－(|a|+k)，n=

因此，g(x)=f(x)－kx－a在(m，n)上存在零点．这里的m和n是如何取出的(或者说怎么想到的呢)?笔者认为对于较为复杂的含参函数应该根据以下两个步骤去找．

1)极限与阶，定性分析．

首先可以利用极限思想定性分析出零点存在，这里需要一些极限与阶的高等数学知识．当x→+∞时，指数函数＞幂函数＞对数函数＞常数．对于加减而言，可以“抓大放小”．例如，f(x)=ex－x，当x→+∞时，由于高阶的ex占主导地位，可忽略低阶的－x，因此整个代数式f(x)→+∞．对于乘除而言，如果出现分不清高低阶的情况，还可以通过洛必达法则和泰勒展开来“定阶”．

于是由零点存在定理可知函数g(x)=槡x－lnxkx－a必存在零点．

利用极限与阶，能快速方便地判断代数式的符号，从而分析出零点的存在性，在高考等限时测试中，可有效节约时间，提升运算准确度．但是“在高中教授极限与阶的知识是不是超纲，会不会增加师生的负担”是很多教师存在的困惑．实际上在人教A版《数学(必修1)》第3章“函数的应用”中，已经有好几页的篇幅通过观察函数图像以及函数值数据去比较当x→+∞时，指数函数、幂函数、对数函数的大小关系并得出相关结论．只是这一节内容由于涉及高考不考的应用题而经常被一线教师略过不教．而等到高三复习时再去提极限与阶的概念，便显得生硬做作．因此，分析高考试题，从另一个角度讲，也是在指导我们今后的教学，应该“回归课本”，根据需要作出合理引导和拓展．

2)赋特殊值，估算界限．

如果说利用极限的思想只是粗略判定了零点的存在，那么具体的m，n该怎么找呢?为了降低找点成本，优先赋特殊值而后考虑放缩．特殊值包括:区间端点、特殊点和形式简单的点．具体而言，对于ex可以尝试赋值0，1，－1，对于lnx可以尝试赋而形式简单的点包括局部为0、局部去分母和局部消参(含定点)的点．

该题从应试角度来看，用极限思想可以快速精准地分析出零点的存在性，没有必要找出使得函数值互异的点m，n．若要取点，一般可按以下思路:1)抓大放小，舍弃低阶和运算不便的项;2)统一矛盾，利用放缩将结构调整为可解的式子．

2．3 数列，以函数思想为指导

著名数学家克莱因说:“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考．”这不仅体现了函数教学在中学阶段的重要地位，更多的是指教师应该培养学生用函数的思想去思考变量之间的关系．在解题时，以函数思想做指导，就是利用函数的图像、性质作工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题划归为函数问题．因为数列本身就是特殊的函数，所以许多数列问题可以用函数的观点去分析、思考，从而达到简化运算的目的．

例3已知 a1，a2，a3，a4成等比数列，且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若 a1＞1，则 ( )

(2018年浙江省数学高考试题第10题)

分析在等比数列中要比较两个项之间的大小关系，最关键的是求出公比q的取值范围．这时很容易想到将已知条件中的每个项都用基本量a1，q 来表示，也就是但是由于对数运算的复杂性，无法再继续有效地化简．

2．3．1 借助函数图像直观分析，简化运算

注意到对数不利于式子的继续化简，是否可以寻找ln(a1+a2+a3)与a1+a2+a3的大小关系，从而将ln(a1+a2+a3)用a1+a2+a3替换，进而简化运算，于是联想到只需要比较lnx与x的大小关系，可以借助y=lnx和y=x的函数图像(如图2)，因为这两个函数都是基本初等函数，它们的图像与性质学生非常熟悉，易得lnx＜x，所以

于是

故 a4＜0．又 a1＞1，因此

2．3．2 构造函数模型巧妙化归，避免讨论

构造函数的方法是高中数学中重要的方法之一．不少数列问题的解决依托构造函数的方法，运算方便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果．再来看例3，得到a1(1+q+q2+q3)=ln［a1(1+q+q2)］后，由于要求出q的取值范围，可以将q看成主元，令函数

它的零点所在范围就是q的范围．又0＜a1＜1，从而

于是函数f(q)在区间(－1，0)上必存在零点，即关于q的方程

其根的取值范围是( －1，0)，从而 q∈( －1，0)，于是

即

再由 a3－a1=a1(q2－1)，a4－a2=a1q(q2－1)，知只需比较q与－1的大小关系即可．

1)当q=－1时，

因此q=－1不成立．

2)当q＜－1时，

而 a1＞0，a2＜0，因此

故选B．

这里巧妙地构造以q为主元的函数f(q)，通过零点存在定理求q的范围，避免了分类讨论，解题过程更简洁．

该试题以等比数列为背景，在等比数列、不等式、函数的性质等基础知识的交汇处精心设计，蕴含了等价转化、放缩、分类讨论等思想方法，实现了对数学知识、数学思想和数学方法的有效考查．考虑数列的函数本质，利用函数思想应对数列小题，可以有效实现小题小做，提升解题效率．

3 写在最后

数学运算能力是学好数学的一项基本能力，良好的运算能力有助于学生数学核心素养的培养．在实际教学过程中，要想提高学生的数学运算能力，教师在教学中要注意帮助学生理解概念本质，耐心细致地强化基础训练，渗透数学思想方法，引导学生在众多解法中，寻求优化的思路和策略．

我们期待通过高中数学课程的学习，帮助学生进一步发展数学运算能力，提升数学运算核心素养，有效借助运算方法解决实际问题．通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．