浅谈高等数学中两个重要极限公式的教学策略

司国星 闫丽娜

【摘要】两个重要极限公式是高等数学教学中的重点内容，在对这两个重要极限公式进行教学时，教师往往是先对这两个重要极限公式的两个准则进行教学，然后才能对这两个重要极限公式进行证明.这种教学方法不仅需要花费大量的时间，而且推导性内容较多，使学生在学习过程中难以对这些推导过程进行深刻理解，从而影响了教学效果.针对这种情况，本文通过在两个重要极限公式教学中应用MATLAB教学软件，并充分引入数学实验，利用探索法来对这两个重要极限公式的教学策略进行深入浅出的探讨.

【关键词】高等数学；极限公式；教学策略

高等数学是本科院校中一门非常重要的学科，而在高等数学教学过程中，关于两个重要极限公式的教学一直都是重点和难点内容，由于在对这两个重要极限公式进行证明和推导过程中，推导过程复杂，并且非常抽象，再加上对这两个重要极限公式的教学课时相对较少，学生没有较多的时间去推导公式，从而给学生在学习高等数学中带来了较大的难度，影响了学生的学习效果.而随着计算机技术的不断发展，MATLAB数学软件得到了广泛的应用.本文通过应用MATLAB数学软件进行教学，并引入数学实验，利用探索法来对这两个重要极限公式进行讲解，以此取得良好的教学效果.

一、第一重要极限公式的教学策略

（一）第一重要极限公式 limx→0sinxx=1左极限的教学探索

第一重要极限公式即 limx→0sinxx=1，本科院校在对第一重要极限公式进行教学时，都会对夹逼定理进行优先讲解，然后才会利用推导公式对定理进行推导和证明.但是，由于推导过程中需要较多的推导过程，推导起来也较为复杂，而教师对推导的讲解也非常抽象，这就使学生难以理解推导过程，从而加大了学生的难度.通常情况下，教师在对这一重要极限公式进行讲解时，都是先给出公式，然后利用多举例的办法使学生能够熟悉公式，但这种教学方式需要占用的课时较多，并且学生理解起来也比较困难.而通过引入教学实验，并借助MATLAB数学软件，采用探索法来对第一重要极限公式进行探索.下面就对该重要极限公式的探索方法进行讲解.首先，需要先打开MATLAB数学软件，并对MATLAB设置程序，在程序中分别定义极限函数、探索左极限，并用矩阵来对函数的对应值进行表示，通过对MATLAB数学软件设置后的程序进行运行得出结果.在结果中x的取值非常重要，通过对x取值的修改能够非常方便的探索出函数的极限.通过对结果进行分析，我们发现在结果中x的取值都位于软件的第一排，而第二排则代表着sinxx的取值，并通过进一步研究，发现当x的取值越往左侧进行排列，其取值数就越接近于0，而函数f（x）=sinxx的取值也就越接近1.此时，我们再次对MATLAB数学软件的程序进行修改，并设置探索左极限，通过对MATLAB数学软件的程序进行运行和推导可以得到推导过程，此时，在软件推导公式的第一排，显示的是x的取值，而第二排则代表sinxx的取值.通过对推导过程进行分析可以了解到，当x的取值为-0.03时，sinxx的取值最终为0.999 9，这个函数值基本非常接近1了，如果再继续进行推导，后面还会出现0.999 99，0.999 999，…，并越來越接近1.因此，通过对上述推导内容的分析，我们根据极限描述性定义可以求得 limx→0sinxx=1.

（二）第一重要极限公式 limx→0sinxx=1右极限的教学探索

第一重要极限公式 limx→0sinxx=1右极限的探索方法基本与左极限相同，通过在MATLAB数学软件中对x的取值进行修改，输入探索右极限命令，并对MATLAB程序进行运行，来求得推导过程.推导过程中第一排显示的是x的取值，而第二排则是sinxx的取值，通过对推导过程进行探索和分析可以知道，当x的取值为0.03时，sinxx的取值为0999 9，并且非常接近1，而如果再对程序进行运行，其数值也将越来越接近1.由此依据极限描述定义可以求得 limx→0sinxx=1.当然，利用作图的方式也能对第一重要极限公式 limx→0sinxx=1的极限进行探索和验证，通过在MATLAB数学软件中输入相应程序，并对程序运行就能得出相应的图像，从图像中就可以找出 limx→0sinxx=1，而如果通过对程序进行修改，并使其区间加大，图像显示的效果也会更强.总而言之，通过充分利用MATLAB数学软件来进行教学，将极大缩减教学时间，并有效避免了复杂的推导过程，使学生的积极性得到了显著提高.

二、第二重要极限公式的教学策略

（一）探索法求得第二重要极限公式的探索极限

第二重要极限公式即 limx→∞1+1xx=e，第二重要极限公式也是高等数学中的教学难点，通常情况下，教师在对第二重要极限公式进行教学时，会先给出定理，该定理为单调有界数列必有极限.如果是对本科理工类学生进行教学时，教师一般情况下不会对定理进行证明，而只有是对数学专业的学生进行教学时，才会对定理进行证明，当定理给出以后，教师需要对实数公理进行增加，并对公式进行证明，对第二重要极限公式的证明主要分为四个层次，第一层次是对数列1+1n 单调增加的证明；第二层次是对1+1nn 有界数列的证明；第三层次是利用夹逼定理来对该极限公式进行推广，以使其达到正实数；第四层次是采用换元法来对该极限公式进行推广，使其达到负实数.哪怕经过这四个层次的推导证明，也不能对该极限公式的真正极限进行求出.而由于本科院校的高等数学教学课时有限，因此，使学生的数学基础难以得到提高.而利用MATLAB数学软件能够非常高效的找出该极限公式的探索极限，通过在MATLAB数学软件中输入程序，以此来定义极限函数，并运行MATLAB程序，可以求得一组数据.在所求得的数据中，第一排数据代表着x的取值，而第二排则代表着1+1xx的取值，通过对数据进行分析，能够发现当x的取值越大，函数1+1xx的取值也就越接近2.718.我们能对x的取值进行调整，并设置探索极限程序，程序运行可得到一组数据，该组数据中的第一排代表着x的取值，而第二排数据则代表1+1xx的取值，同样可以发现，随着x取值的不断增大，函数1+1xx的值也越来越接近2.718 1.

（二）作图法求得第二重要极限公式的探索极限

除了应用探索法来验证第二重要极限公式的探索极限，还可以采用作图法来对其探索极限进行验证.通过在MATLAB数学软件中输入相应程序，并对程序进行运行，可以求得第二重要极限公式的图像，当图像出现后再对程序进行修改，并运行程序能够得到全新的图像，从这两个图像中可以了解到 limx→∞1+1xx=e.通过作图法的方式来证明第二重要极限公式的探索极限不仅能够使证明结果变得更加直观，也能缩减那些不必要的推导公式，从而极大减少了第二重要极限公式的推导时间，使教学任务的完成变得更加高效，通过这种做法，不仅能够有效培养学生发现问题的能力，也给学生在解决这类问题时提供了科学有效的方法.通过在高等数学教学中引入MATLAB数学软件，不仅能够有效解决课时较少的问题，也使数学难点的教学变得更加简易.

三、结 语

总而言之，通过在高等数学中充分应用MATLAB数学软件来对第一和第二重要极限公式进行推导，不仅能够使推导过程变得更加简便，还能有效节约课程时间，使学生通过MATLAB数学软件就能进行自主学习，从而加深了学生对这两个重要极限公式的理解，提升了学生的学习效率，使学生的数学基础能力得到了极大的强化.当前，本科院校在MATLAB数学软件中的应用相对较少，更没有引入数学实验.针对这种情况，学校应加强信息技术的使用，并在高等数学中引入数学软件，使师生能够通过数学软件的使用来共同发现和解决问题，以此高效地完成教学任务.

【参考文献】

[1]王孝成.高等数学中两个极限公式的教学[J].南京人口管理干部学院学报，2002（2）：53-55.

[2]殷红燕.两个重要极限公式求特定类型的极限的方法[J].高等函授学报（自然科学版），2012（6）：24-25.

[3]姜洪文.对重要极限公式 limx→∞1+1xx=e的推广[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2003（2）：91-94.endprint