对多角度解题的一点探究

摘要：为更好地培养和提高学生的数学核心素养，应从题目拓展、解题思路、解题方法、解题途径等多角度进行训练，强化学生的数学思维，增强学生的应用意识。

关键词：多角度；拓展；数学思维

教师在数学教学中经常会面临一个突出的问题：如何从应试教育向素质教育转变，培养学生良好的思维品质是实现这一转变的一个重要方面。我们应该培养学生能够从多角度去观察、分析并处理题目，启发学生的积极性，增强学生的应用意识，真正实现提高学生的数学核心素养。

一、 对题目进行引申，开拓思維

在解题时，应引导学生对题目进行探究：可否对题目的条件或者结论进行变形，可否对题目进行引申拓展，有相关联的题目吗？经常做这种层层深入的思考研究，学生的数学解题思维就可以得到很好的开拓。

【例】在△ABC中，AB=AC。

（1）如图（1），如果点M是BC边上的中点，连接AM，求证：AB2-AM2=BM·CM；

（2）如图（2），若点M是BC边上的一个动点，那么（1）中的结论还成立吗？

（3）如图（3），若点M是线段BC的延长线上任意一点，那么线段AB，AM，BM，CM之间有什么样的数量关系？

（1）

（2）

（3）

分析：这个题目可引导学生发现：它主要是考查学生对等腰三角形的性质的理解应用，同时还有对勾股定理的掌握。从（1）中的特殊情况中点切入，到（2）拓展到任意一点，又引申到（3）的延长线上，这样既使学生加深了对基础概念、定理的掌握，同时又可以开拓数学思维，提高综合运用的能力。

对题目进行拓展变化可以很好地提高学生灵活解题的能力。通常变题方法有：条件的弱化；条件的强化；逆向变化；结论推广等。

二、 探索解题途径，发散思维

在解题时教师要加强引导学生去发现探索不同的解题途径，这有助于培养学生扎实的数学解题技能，训练学生具有独立的数学思维，避免常规的思维定势。

【例】已知f（x）=ax2+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值为2，最小值为-52。

求证：a≠0，且ba<2。

分析：引导学生思考，题目的关键点在哪里？反证法的适用范围是什么？

证明：假设a=0，或ba≥2。

（1）当a=0时，由a+c=0，得f（x）=bx，显然b≠0。由题意得f（x）=bx在[-1，1]上是单调函数，所以f（x）的最大值为|b|，最小值为-|b|。由已知条件，得|b|+（-|b|）=2-52=-12，这与|b|+（-|b|）=0相矛盾，所以a≠0。

（2）当ba≥2时，由二次函数的对称轴为x=-b2a，知f（x）在[-1，1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得。

所以f（1）=a+b+c=2f（-1）=a-b+c=-52

或f（1）=a+b+c=-52f（-1）=a-b+c=2

又a+c=0，则此时b无解，所以ba<2。由（1）（2），得a≠0，且ba<2。

说明：在数学解题中，应当训练学生积极探索不同的解题途径，对于有些题目直接求解比较繁琐或者很难求解时，可考虑是否可以采用反证法。培养学生的发散性思维，从而能够更为灵活简洁地解答题目。

三、 找寻不同解题方法，拓展思维

在数学解题教学中，教师应引导学生在解题过程中尽量从不同的角度出发，主动地去发现不同的解题方法，这可以使得学生的思维得到拓展，达到提高学生数学核心素养的目的。

【例】已知a2+b2=1，x2+y2=1，求证：ax+by≤1。

证明：证法1（比较法）：

1-（ax+by）=12（1+1）-（ax+by）

=12（a2+b2+x2+y2）-（ax+by）

=12[（a2-2ax+x2）+（b2-2by+y2）]

=12[（a-x）2+（b-y）2]≥0

所以ax+by≤1

证法2（分析法）：要证ax+by≤1

只需证1-（ax+by）≥0

即2-2（ax+by）≥0

因为a2+b2=1，x2+y2=1

所以只需证（a2+b2+x2+y2）-2（ax+by）≥0

即（a-x）2+（b-y）2≥0

因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

证法3（综合法）：因为ax≤a2+x22，by≤b2+y22

所以ax+by≤a2+x22+b2+y22=1

即ax+by≤1

证法4（三角换元法）：因为a2+b2=1，x2+y2=1

所以可设a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ

所以ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤1

证法5（数形结合法）：因为直线l：ax+by=0经过圆 x2+y2=1的圆心O，所以圆上任意一点M（x，y）到直线ax+by=0的距离都小于1或等于圆半径1。

即d=|ax+by|a2+b2=|ax+by|≤1ax+by≤1

说明：在解答题目时让学生经常地寻找多种解题方法，可以让学生更好地对不同的知识点找到它们的联系，更有助于学生思维灵活性的训练。当然，要发现不同的解题方法对学生是一个难点，这需要在平时的解题中经常有意识地训练。同时，还要注意不同解题方法的使用条件。

总之，教师在平时的数学教学中应重视对学生解题思维的培养，启发学生，提高学生主动思维的积极性，让学生自主地学习、思考、观察，从书本到生活，训练学生的创造性思维，全面提高学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]杨菁.高中数学“一题多解”的案例分析[J].理科考试研究（高中版），2015，07.

[2]武秀琴.高考笔记高考冲刺总复习：数学[M].山西教育出版社，2007.

作者简介：

陈丽英，福建省漳州市华安县第一中学。endprint