对数学概念教学的一点想法

摘 要：概念是对事物本质属性的认识，是思维的最小单位。本文从具体课例出发谈谈对数学概念教学的一点想法。

关键词：概念教学数学；考试

每次考完试以后，常常会有学生由于没有准确掌握好数学概念，思路不清晰，导致解题错误，我觉得主要有两方面的问题：一是教师教学方面，在上概念课时，有些教师常把重点放在例题讲解和练习题的处理上，让学生记住，变成关注的是让学生怎么运用数学概念来解题；二是学生学习方面，觉得概念的学习单调，不够有趣，又以为考试肯定不会直接考概念，导致对概念学习不重视，这样对基本概念的认识就很模糊，没有透彻理解，只有零碎的一些认识，只能靠机械的记忆。下面以“椭圆及其标准方程”第一课时为例，从教师方面谈谈数学概念教学的一点想法。

完成本课时的教学我主要是通过以下6个环节来完成：

1. 课前布置。

（1）让学生观察生鸡蛋的外形，油罐车的尾部形状，斜射光线下圆（或球）的投影图形。

（2）让学生准备好一张纸板，一根绳子和笔。

[设计意图]为本节课的完成提供较充裕的时间。

2. 观察课前布置的第一项结果和利用多媒体演示用一个平面去截圆锥所得到的截口曲线。

[设计意图]让学生发现和感受椭圆的存在。

3. 操作和发现椭圆的定义。上课时，我先拿出事先准备的绳子，再让两个学生到黑板前分别按住绳子的两端，我再套上粉笔，拉紧绳子，移动粉笔（动点），让学生观察画出的轨迹是什么曲线？（学生很容易就观察出是个椭圆），接着再让学生拿出课前布置的第二项材料自己画图（同桌间互相配合），在绳子长2a不变的条件下，通过以下问题，自然而然地引出椭圆的定义：

（1）当绳子的两端合在一起时，画出的轨迹是什么曲线？

（这时笔尖只能在绳子的中点，画出的轨迹是圆）

（2）当绳子的两端分开一点，画出的轨迹是什么曲线？

（这时笔尖能在绳子上移动，画出的轨迹是椭圆）

（3）当绳子两端距离变大时，画出的轨迹（椭圆）有何变化？

（随着绳子两端距离2c越来越大，画出的椭圆越来越扁平）

（4）当绳子两端的距离2c刚好等于绳子长2a时，画出的轨迹又是什么？（是一条线段）

（5）固定两端，当绳子长小于这两端之间的距离时，能画出轨迹吗？

（画不出，轨迹不存在）

（6）在画图的这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？

（经过这样的实践操作，学生就自然而然地可以自己归纳出椭圆的定义，进一步地还可以引导学生得到以下结论：当c=0时画出的轨迹是圆；当2a>2c时画出的轨迹是椭圆；当c→a时画出的椭圆越来越扁平；当2a=2c时画出的轨迹是一条线段；当2a<2c时，画不出轨迹，即轨迹不存在）

[设计意图] 通过以上问题的创设，实验的操作以及问题的解答，让学生经历椭圆概念的形成过程，并感受到概念的引入是自然的，这样学生对概念的认识和理解就会比较清晰、深刻和全面。

4. 寻求和推导椭圆的标准方程。我是按如下步骤进行的：

（1）问题1：求曲线方程的步骤是什么？

（2）问题2：如何建立坐标系？（受数学美的驱使，使建立的坐标系、所设的点的坐标都对称和谐，于是建立的坐标系是以两焦点所在直线为x轴，两焦点连线段的中点为原点）。

（3）在推导中首先得到的（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，事实上这个方程就是椭圆的方程，但它不够简洁，因此需要化简。注意到式子的左边是两个根式之和，如果直接平方，会导致方程更为繁杂，于是移项平方，整理后得到a2-cx=a

（x-c）2+y2，此时还有一个根号，于是再平方，进一步化简得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.此时式子虽较前简单，但注意观察发现两边都有一项a2-c2，如果将其替换，方程就可以更加简洁，对称。于是设a2-c2=b2（b>0）得到x2a2+y2b2=1，这也达到数学的简洁美。

（4）从曲线与方程的关系说明方程是椭圆的方程，从而把它叫做椭圆的标准方程。

（5）问题3：观察图1，你能从中找出表示a，b的线段吗？（明确a，b的几何意义便于记住方程）

图1

图2

（6）问题4：如图2，如果建立的坐标系是以两焦点所在直线为y轴，两焦点连线段的中点为原点（仍符合数学的“对称美”和“和谐美”），得到的椭圆的方程是什么？

通过以上步骤得到椭圆的两个标准方程，进而再引导学生明确以下两点：（1）椭圆的两个标准方程中，都有a>b>0且a，b，c始终满足a2-c2=b2；（2）兩方程的焦点坐标不同。

[设计意图]通过边提问边讲解，使学生明确每一步运算的意义、作用和所以要这样做的原因，引导学生进行思考和推理训练，从而领悟数学的本质。

5. 椭圆定义和标准方程的应用。讲解课本中的例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点52，-32，求它的标准方程。

[设计意图]及时检验学生利用定义和标准方程解题的情况。

6. 小结归纳，巩固提高

让学生回顾一下本节课学习的内容，又是如何进行学习的？引导学生可以从以下两个方面进行小结：一、本节课你学习了哪些知识？ 二、遇到问题应如何思考，如何解决？

[设计意图]这样有利于培养学生形成及时总结的习惯，将所学知识融会贯通。

我们数学教师在上概念课时，更多的是要引导学生关注数学概念的形成过程，引导学生对新知识、新问题进行观察分析、实践操作、合理推理，引导学生自主建构知识，自觉地获取概念的本质。这样学生在上课时就会从被动的听变成主动的学，这样也才能充分体现以学生为本， 尊重学生主体地位的教学理念。

作者简介：罗阳梅，福建省晋江一中。endprint