医用高等数学中不定积分的求法探析

方国敏+谢蔚

摘 要：不定积分的求法是积分学的基础和重点，本文对其常用解法进行分析和归纳。

关键词：高等数学；不定积分；求解方法

在高等数学积分学部分的教学中，不定积分是基础和重点，同时也是难点，学生对不定积分求法掌握的熟练程度直接影响着后面定积分和微分方程等内容的教学。

一、 直接积分法

利用不定积分的基本积分公式和运算性质直接求函数的不定积分的方法通常称为直接积分法。

例1 求不定积分∫x2（x+1）dx

解：∫x2（x+1）dx=∫（x52+x2）dx=∫x52dx+∫x2dx=27x72+13x3+C

对于某些不定积分式子，可把被积函数进行适当变形，再用直接积分法进行计算。

例2 求不定积分∫x41+x2dx

解：∫x41+x2dx=∫（x4-1）+11+x2dx=∫（x2-1）dx+∫11+x2dx=13x3-x+arctanx+C

二、 换元积分法

（一） 第一类换元法（也叫凑微分法）

定理：若∫f（t）dt=F（t）+C，且t=g（x）可導，则∫f[g（x）]g′（x）dx=F[g（x）]+C。

例3 求不定积分∫（3x+7）3dx

解：∫（3x+7）3dx=13∫（3x+7）3d（3x+7）=112（3x+7）4+C

难点在于从被积表达式中找出合适的部分与dx结合凑成dg（x），比如：

dx=1ad（ax+b），xdx=12dx2，x2dx=13dx3，1xdx=dlnx（x>0），1x2dx=-d1x，1xdx=2dx，exdx=dex，e-xdx=-dex，sinxdx=-dcosx，cosxdx=dsinx，sec2xdx=dtanx，csc2xdx=-dcotx，11-x2dx=darcsinx，11+x2dx=darctanx

例4 求不定积分∫tanxcosxdx

解：∫tanxcosxdx=∫sinx（cosx）32dx=-∫（cosx）-32dcosx=2cosx+C

（二） 第二类换元法

若被积函数中含有nax+b（a，b为常数，且a≠0）时，可令t=nax+b。

例5 求不定积分∫1x-xdx

解：令t=x，则x=t2，dx=2tdt，原积分变为：

∫1x-xdx=∫2tt2-tdt=2∫1t-1dt=2ln|t-1|+C=2ln|x-1|+C

若被积函数中含有无理式a2-x2、a2+x2、x2-a2，相应地，可分别令x=asint或x=acost、x=atant或x=acott、x=asect或x=acsct，在具体问题中应注明t的取值范围。

三、 分部积分法

利用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu求积分的方法称为分部积分法，解题关键是u和dv的选择。

（一） 当被积函数为对数函数或反三角函数时，直接运用分部积分法公式求解。

例6 求不定积分∫ln（x+1）dx

解：∫ln（x+1）dx=∫ln（x+1）d（x+1）=（x+1）ln（x+1）-∫dx=（x+1）ln（x+1）-x+C

（二） 当被积函数为两种或两种以上不同类型的函数相乘时，一般按照“反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数”的顺序，将排在前面的函数留作u，排在后面的与dx结合凑成dv。

例7 求不定积分∫xcosxdx

解：∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

参考文献：

[1] 盛祥耀.高等数学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010，5.

[2] 张治俊.新编高等数学[M].北京：北京邮电大学出版社，2012，6.

作者简介：方国敏、谢蔚，云南省曲靖医学高等专科学校。endprint