核心素养下函数零点校本作业的归类探析

蔡振树

[摘 要] 文章主要對“函数零点”的校本作业进行归类，剖析了函数零点、方程的根与函数的图像的交点的灵活转换，旨在帮助学生探索数学素养培育的载体.

[关键词] 函数零点；高考题；解方程；数形结合；导数；取值范围

函数零点的定义：一般地，对于函数y=f（x）（x∈D），把使得f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点. 零点与方程的解及函数图像与x轴交点的横坐标等有紧密的关系. “函数零点”这知识点的校本作业设计也是围绕这三个关系展开的，校本就是基于学生实际来设计问题和解决问题，进而培育学生的数学素养.

题目设计可以体现函数零点、方程的根与函数的图像的交点的灵活转换，重在函数图像与性质等基本知识的领悟及深化，渗透等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，并从函数零点的分布、函数零点个数的探究以及构建不等式解决参数取值范围等切入，旨在通过题目的处理来帮助学生从多角度、多视点、多层次地训练数学理性思维能力，揭示数学的本质学习，是数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养培育的有力载体，对数学学习潜能的培养具有十分重要的意义. 以下从几个方面来设计问题及对这类问题进行归类解析.

运用基础知识和基本定理判断函数零点的分布

函数零点的分布问题，即对应方程根的取值范围，解决的策略主要是利用函数零点的存在性定理，或者结合函数的图像和性质，或者一些特殊点来解决，培育学生最基本的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

例1：已知函数f（x）=-logx，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （2，4） D. （1，3）

解法一：（零点的存在性定理）依题意得f（1）=-log21=6>0，f（2）=-log22=3-2=1>0，f（3）=-log23=2-log23>2-log24=0，f（4）=-log24=-2=-<0，故有f（2）·f（4）<0，从而由零点的存在性定理可知，包含f（x）零点的区间为（2，4），故选C.

解法二：构造两个函数：y=与y=log2x，则图像的交点所在区间即为y=f（x）零点所在区间，如图1所示：

因为>log22，

若函数图像易画出，则易解决；若图像不易画出，则考虑零点的存在性定理，但需注意，该定理运用的前提条件是该函数在区间上无间断点，而且对于（a，b），f（a）·f（b）<0只是f（x）在（a，b）上存在零点的充分条件而已.

通性通法来判断函数零点、方程根的个数

函数零点、方程根的个数的判断属于定性判断，其解决的主要思路有通过解方程判断解的个数以及数形结合，充分运用函数及方程思想等来解决问题，这些方法属于通性通法，对学生数学核心素养的形成和发展具有十分重要的意义.

1. 解方程法

若函数f（x）对应的方程f（x）=0较好求解，可通过定义法把函数f（x）零点问题转化为求方程f（x）=0的解，方程解的个数即为对应函数零点的个数.

例2：函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上零点的个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：求方程xcosx2=0在区间[0，4]上解的个数，易知x=0为一个解；而当x∈[0，4]时，x2∈[0，16]，由cosx2=0得x2=+kπ，k∈Z，则k只能取0，1，2，3，4，即此时可得到5个不同的解，从而知方程xcosx2=0的根共有6个，即函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上零点的个数为6个，故选C.

2. 数形结合法

若函数结构为F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）及g（x）为两个不同类型的基本初等函数，则可通过数形结合法解决，即根据函数零点、方程的根与函数图像的关系知，函数F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程f（x）-g（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）与y=g（x）有交点，从而可把函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题转化成研究函数y=f（x）与y=g（x）的交点问题，而有时又需要把方程f（x）-g（x）=0根的问题转化成研究函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题，通过图像反映与轴的交点的情况.

例3：函数f（x）=2sinxsinx+-x2的零点个数为_____.

解析：f（x）=2sinxsinx+-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2，所以，求f（x）的零点个数就是求函数y=sin2x与y=x2的交点个数，如图2所示：答案为2个.

注意：通过研究可以发现函数的零点是一个具有“数”和“形”两方面含义的概念，因此，在研究时常常应把两者结合起来考虑，并掌握基本函数的图像及其图像变换，考虑数形结合法解题.

关注学习差异研究参数的取值情况

由函数零点（方程根）的存在情况求参数的取值问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解. 常用的方法有直接法、数形结合法及导数法等.对含参问题的求解，体现关注学生的学习差异，是对学生更高层次的素养形成的培育.

1. 直接法

直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.

例4：若函数f（x）=x2+2ax+4a2-3的零点有且只有一个，则实数a=________.

解析：易知函数f（x）=x2+2ax+4a2-3是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0. 令f（0）=0得，a= ±，而当a=时，f（x）=x2+x，它只有一个零点0，符合题意；当a=-时，f（x）=x2-x，它有三个零点，分别为0，及-，不符合题意，综上，a=.

2. 数形结合法

例5：已知函数f（x）=log2（x+1），x>0，-x2-2x，x≤0， 若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是______.

分析：遇到此类问题，首先要通过运用函数与方程的思想进行等价转化，转化为两个更简单的函数，画出函数图像，数形结合，结合交点个数确定参数范围.

解析：函数g（x）=f（x）-m有3个零点，转化为f（x）-m=0的根有3个，进而转化为y=f（x）与y=m的交点有3个.画出函数y=f（x）的图像，则直线y=m与其有3个公共点. 又抛物线顶点为（-1，1），从而由图像可知实数m的取值范围是（0，1）.

3. 导数法

例6：已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是（ ）

A. （2，+∞） B. （1，+∞）

C. （-∞，-2） D. （-∞，-1）

思路一：由于参数a是函数f（x）的最高次项的系数，可以对参数a分a=0，a>0，a<0三类进行讨论，再结合导数求极值的思路，分别研究出各种情况下函数f（x）的单调性，进而明确函数f（x）的大致图像分布，从而结合题目条件“存在唯一正零点”得出结论.

思路二：用分离参数法，运用化归转化、数形结合思想，把函数f（x）等价转换成函数y=a与y=3·-的唯一的交点在y轴右侧，从而再结合导数思维突破，得出参数a的取值范围.

本文通过对“函数零点”这相关知识点校本作业的选取和设计进行归类探析，着重从基本问题处入手，让学生在探索解题方法及思路形成中不断培育数学抽象、逻辑推理等素养，体会蕴含的数形结合、函数与方程等数学思想方法，在学习实践中加深对数学本质的理解，并体现学习差异，不断增强函数应用的意识，在学习中得到不同程度的发展.