求抛物线方程的三种方法

欧阳威

【摘要】 求解抛物线方程是历年高考保留节目。破解抛物线方程问题一般有三种方法：一是直接法，二是待定系数法，三是定义法。

【关键词】 数学 抛物线方程

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）11-171-01

一、直接法

所谓直接法就是直接利用题中的条件确定焦参数p或根据条件转化求解抛物线方程。这类问题解题的关键是要充分挖掘题中的条件，特别是隐含条件，然后结合方程思想或转化思想求解。

分析：这类轨迹方程的求解只要直接根据题意通过列方程，结合转化思想就能破解.解题时要特别注意的是等价变形。

点评：直接法求解抛物线方程问题，实际上是一种求解圆锥曲线的基本策略，破解時要注意的地方是等价变形和挖掘条件列方程。

二、待定系数法

所谓待定系数法就是先设出抛物线的方程，再根据题中的条件，确定焦参数p，这类问题一般要结合方程思想进行，通过方程求解参数。

点评：对于待定系数法求抛物线方程关键是用方程思想求参数，通过已知条件列出一元方程，通过一元方程便可化解。

例3.已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点（x0，-8）到焦点的距离等于17，求抛物线方程.

三、定义法

所谓定义法就是先判定所求的轨迹符合抛物线的定义，再求出方程，这类问题一般是求出焦参数p，或通过条件转化求解出焦参数p，破解时注意的地方是要结合分类讨论思想，避免漏解或多解。

例4.求下列抛物线的标准方程：（1）焦点（2，0）（2）准线方程为y=1.

分析：焦点、准线明确，可直接利用抛物线方程的定义，从定义出发，根据焦点、准线与方程系数的联系解题.

例5.求焦点在x轴，焦点到准线的距离为6的抛物线的标准方程。

分析：从定义出发求抛物线方程问题，如果焦点的具体位置不清楚，则需要进行讨论，分类求解有关抛物线方程问题。

解：由题意可知p=6，（1）若焦点在x轴的正半轴，方程为y2=12x；（2）若焦点在y轴的正半轴，方程为y2=-12x

点评：焦点到准线的距离为标准方程中的p，我们称为焦参数。讨论焦点位置也是求解抛物线方程时常常遇到的问题。

破解抛物线方程的方法一般是以上三种策略，对于不同的问题要选择恰当的方法破解，择其最佳的方案破解抛物线方程问题往往事半功倍，否则就会欲速则不达，因此要注意这三个基本策略的适用条件和应用范围、解题步骤和技巧。