积累非演绎思维经验 培养再创造意识

刘永江

【摘 要】 正在修订中的高中数学课程标准，把“四基”和“四能”作为了课程的基本目标，把“培养创新意识”作为课程目标的重要落脚点之一，而发现和提出问题的能力显然是培养创新意识的重要前提，所以问题意识的培养就显得尤为重要，在三类重要的数学推理形式中相较于演绎推理，归纳推理与类比推理显然更有助于学生发现与提出问题，但就现有教材和教学而言，关于归纳与类比的教学尝试还显然有很多欠缺之处，本文以等比数列的学习为例阐述了如何进一步加强非演绎思维经验的积累进而培养学生再创造意识的一些思考与尝试.

【关键词】 感性类比；理性类比；再感性类比；再创造

史宁中教授在他的著作《数学基本思想18讲》中对什么是数学基本思想给出了两个基本原则：一、数学产生和发展所必须依赖的那些思想；二、学习过数学的人应当具有的基本的思维特征.根据这两个原则史教授把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.这也正是史教授解释数学的核心素养时常讲的三句话，即：数学教学的最终目标是要让学生会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型[1].从史教授对数学基本思想的精辟解读中不难看出：数学推理毋庸置疑应该是学习数学的最主要的思维方式，也恰恰是教师通过教学培养学生数学核心素养的重要落脚点.

通常情况下，我们认为的数学推理大致有以下三种形式，即：由一般到特殊的演绎推理；由特殊到一般的归纳推理；还有就是由特殊到特殊的类比推理.為了说明三种推理方式的内在关系，我们不妨简单梳理一下数学知识的形成与发展的过程：通常情况下，人们由自己的经验出发通过观察并借助归纳与类比的方式得到一些主观上的知识，我们称之为猜想；接下来我们再借助演绎的方式进行严格的证明从而去伪存真；在此基础上，人们又通过数学抽象的方式人为地制造出一些公理或定理，这些公理或定理又将成为进一步演绎推理的依据.在这一过程中，演绎推理是纯粹的逻辑推理，是从人为制造的知识出发；归纳（类比）推理也是一种逻辑推理，却是从经验出发，这是二者的本质区别所在.对于数学论证而言，归纳、类比是为了得到结论的推理，演绎是为了证明结论的推理.由此不难看出知识创造与产生的本真过程恰恰更多地源于非演绎的思维方式[2].从培养学生创新意识的角度看，非演绎思维的价值就凸显重要，但是，这又恰恰是以往教材编写和教师教学比较容易忽视的地方.因而，作为身处一线的数学教师如何在重视演绎推理能力培养的同时更多的在课堂教学中有意识地加强非演绎思维方式的培养就显得尤为重要.

另外，正在修订中的《高中数学课程标准》（实验）把“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（发现和提出问题，分析和解决问题能力）作为了课程学习的初级目标；把“提升创新意识”作为课程学习的重要落脚点之一.从这些目标的内在联系上看，这种课程目标的设定实际上是一脉相承循序渐进的，创新意识的形成一定是以学生的问题意识为前提，因而发现问题与提出问题的能力就尤为重要，而在发现与提出问题的过程中类比与归纳为我们提供了有力的方法支撑.因而从培养学生数学素养的角度上看，我们甚至可以认为非演绎思维更有利于培养学生发现和提出问题的能力，更利于培养学生的再创造能力与创新意识.

正是基于以上的这些认识，笔者认为：身在一线的数学教师应该具有强烈的时代使命感，自觉担当起“培养学生创新意识与能力”的重担，这就要求我们必须主动地在数学教学中创造机会引导学生学习使用归纳、类比的思维方式去亲历知识的再创造过程，进而弥补以往对非演绎思维方式重视不足的遗憾.相较于归纳推理的教学实践，类比推理的教学资源相对较少，因而本文中将仅以等比数列的学习为例来呈现如何借助类比推理的教学来丰富学生的非演绎推理经验进而培养学生的再创造意识的一些思考与尝试.

我们知道，类比的思维模式在于当两个或两类以上事物在诸多方面都相同时，便可以参照一类事物的已知属性推断另一类事物具有相同属性.简单地说：结构相近，性质相似.从知识的呈现形式上看等比数列与等差数列完全符合类比推理的这一特征，因而等比数列的学习非常适合运用类比教学进行展开.根据笔者的教学经验，我认为类比教学大致可以分为三个学习阶段，第一个阶段是简单的形式上的类比，我们可以称之为“感性类比阶段”.在这一阶段，学生往往可以通过自己的观察比较容易发现两者的同与不同，进而得到初步的类比规律，产生新的类比结论，但是这种类比结论往往只是类似文字变动的机械替换，学生还并未对类比规律的本质进行理性的思考；类比学习的第二阶段是类比本质的揭示，我们称之为理性类比阶段.这是类比学习的最关键的阶段，在这一阶段，学生会在教师的引导帮助下逐步发现类比规律背后的本质特征，对于这一本质特征的理解将很好地促进类比学习的下一阶段的展开；类比学习的第三个阶段就是运用类比规律进行类比推广的阶段，我们可以称之为“再感性类比阶段”.这一阶段其实就是类比规律的更加深入的应用阶段，正是因为对类比规律的本质有了更加理性的理解，所以学生就可以把类比规律作为一种思维工具进行非常丰富的再创造工作，类比思维的宝贵价值也恰恰体现在这一阶段.综合来看，类比学习的三个阶段实际上是循序渐进相辅相成的，如果类比仅仅停留在第一个阶段，那么学习者就会错过了“问渠哪得清如许，为有源头活水来”的恍然大悟的欣喜，必然会陷于“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的盲然之中；如果我们在第二个阶段就戛然而止，那么学习者也不会领悟“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的悠远境界，就会错失“极目楚天阔”的别样风景，那么类比的创造价值就会荡然无存.

基于以上的经验，我为等比数列的学习设计了如下三个教学阶段：

第一阶段——感性类比阶段

根据等差、等比数列的知识体系特征我设计了如图1（部分）的知识方法类比表.需要说明的是：课前发给学生的表格只有第一行和第一列的项目内容，在学习等比数列的课前要求学生把等差数列的相应内容先进行整理和总结，关于等比数列的内容则有待课上生成.endprint

对于类比表格中的每一横行的问题就内容的生成而言学生并不是很吃力，他们很容易从字面的对比中找到类比的关键点.以等比数列的定义为例：在组织同学们订正完成图一中的关于等差数列的相关内容后，我设计了这样一个问题：刚才我们又简单地回顾了一下等差数列相关的知识体系，那么我们今天将继续学习另一种重要的数列——等比数列，我想问一下同学们：如果让你尝试着给等比数列下一个定义，你觉得应该怎样说？

对这个问题，学生很快就会照猫画虎地给出如下内容的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数d，那么这个数列叫等比数列，常数d叫做公比.学生仅仅用“比”替换掉了等差数列中的“差”就得到了等比数列的定义（当然这一定义是不严格的），应该说這一阶段其实是类比学习中最低级的阶段，是学生根据等值这一个共性简单模仿而制造类比结论的过程，但需要强调的是，这一阶段看似乏善可陈，但这种简单的模仿却是类比学习的激发点，因为从结果上看，这一看似简单的模仿其实已经实现了新知识的创造，只不过这种创造还仅仅处于形式类比的毛坯阶段.如果说这是“感性类比”的求同存异的寻找共性的环节，那么接下来的就是和而不同辨别个性的环节.就等比数列的定义而言公比不等于零的条件是它与等差数列最大的不同，这也是等比数列定义的关键的特征.在这一点上，为了让学生充分感受揭示本质的过程，我并没有直接追问公比是否可以为零，而是在得到等比数列的定义后我又设计了以下问题：哪位同学能给大家举几个等比数列的例子？这个问题的设计看似简单，但我的用意却是希望学生在运用等比数列的定义构造具体等比数列的过程中，能够感知等比数列“等值”的特征，进而加深对定义内涵的反思与理解.另外，我也会在板书他们的例子的时候有意识地把公比为正号与负号的两种情况进行归类书写，为辨析公比是否可以为零做好素材上的铺垫；在从正面举例应用定义的基础上我又接着设计了这样的问题：谁能举几个看似是等比数列，但又不是的反例？这种举反例的做法从本质上讲其实也是在正向应用定义，但是举反例还会更好地帮助学生进一步强化对定义外延的界定.

在以上一正一反举例的过程中关于公比是否可以为零的问题极有可能会自然而然地呈现出来，这时候老师就可以引导学生揭示公比不等于零的原因所在，即便没有呈现，老师也可以用“常数列是等差数列，那么常数列是等比数列吗？”这样的问题引出零常数列可否为等比数列的议题，进而引导学生思考等比数列中可否出现某项为零的情况.至此，学生对q不等于零的根本原因——除数不可为零就会形成更为深刻的认识.这种教学设计既完成了帮助学生在利用共性创造知识的“知其然”的阶段，又引导学生从特性的角度揭示了新知识自身的特征，完成了“知其所以然”的学习过程.

第二阶段——理性类比阶段

模仿“制造”等比数列定义的方式，我引导学生通过类比的方式生成并辨析了图一表格中的递推关系式、通项公式、广义通项公式以及等比中项这四项内容之后，又和学生们一起完成了角码和相等的重要性质以及如何构造新等比数列的常见方法的学习.正因为这些内容的生成模式近于雷同，所以我认为它们还应属于类比学习的毛坯阶段，即：感性类比阶段.显然，如果仅仅把我们的学习停留在这样的水平上是无法真正达到培养学生问题意识和创新能力的教学目的的，要想把类比引向深刻就必须更加深入地揭示类比的规律与本质.为了帮助学生达成以上目的，我引导学生对多次类比的运算变化情况进行了如下的归纳与对比：

在师生的共同努力下，我们得到了等差数列与等比数列在运算形式上的升级关系：

图2为了进一步帮助学生体会与理解“运算升级”这一类比的本质，我又设计了这样一个问题：我们能把一个等差数列构造成一个新的等差数列，也能把一个等比数列构造成一个新的等比数列，那么我们能不能把一个正项等比数列改造成一个等差数列呢？这个问题实际上是为考查学生对“等差数列中的乘法运算会对应等比数列中的乘方运算”这一类比规律的理解与应用情况；从另一层面上看，也是对对数运算性质： logabn=nlogab的理解程度的考查.由对数的运算性质我们可以看出，只要对一个正项等比数列每一项求对数就可以达到运算降级的目的.

第三个阶段——再感性类比阶段

按照图2的这种运算升级的类比规律，我在备课时突然发现了一个挺矛盾的现象：我们在等差数列中研究的是前n项和的求和公式，在等比数列中我们研究的也是前n项和的求和公式，但是按照我们刚才的这种运算升级的类比规律，我们在等比数列的学习中应该研究的是等比数列的前n项积才对呀（当然，从数学知识体系的角度看，之所以研究数列求和其出发点之一就是为了呈现离散型的函数的积分问题，这是与连续型函数求积分相呼应的）！这一发现的确让我非常兴奋，于是我就为学生设计了这样一个问题：等差数列的前n项和公式为：Sn=a1+an2·n，那么等比数列的前n项积应该是什么呢？根据前面的类比经验学生们比较容易得出这样的结论：等比数列的前n项积为（a1·an）n=（a1·an）n2.这一式子从意义上可以解读为“n个等比中项之积”.

对比前面的类比阶段，如果把“毛坯阶段”的类比过程称为“形似”阶段，那么刚才对于等比数列的前n项积的类比过程就是“神似”的阶段，而“等比数列的前n项积应该是什么？”这一问题的发现恰恰是在深刻理解类比本质的基础上得到的神来之笔，严格意义上讲，这才是真正“创造”知识的过程.但是，正如我们在前面谈到的关于数学知识的生成与发展的过程那样，我们借助类比这一思维工具“创造”了“新”知识，接下来，我们就必须依据学过的知识，借助演绎的方式来严格证明“新知识”的真伪.那么，我们又该如何来完成这种证明呢？

其实，我们的证明还可以从类比开始：求一个等差数列前n项和我们可以采取倒序相加的方法，那么求等比数列前n项积似乎就可以采取倒序相乘的方法来得出.类比结果如下：

算到这里就出现了两个问题，第一个问题是到底取正值还是负值？第二个问题是必须是正的才可以开平方呀.该怎么解决这两个问题呢？在这里我引导学生采取了我们一贯的做法——抽象问题具体化.我引导学生列举了根据a1与q的符号分类得到的四类具体的等比数列：

通过逐类观察，不难发现：（a1·an）n的符号干扰的只是最终结果的正负，而n个数乘积的符号又取决于负因数的个数，鉴于以上两点，我们可以采取以下的处理方式来解决最初的两个问题：

这样一来，只需要确定数列中负数项的个数就可以决定Πn最终的符号了.这一结果的类比生成与严格证明充分体现了归纳、类比推理发现合情猜想，演绎推理证明猜想合理的多种推理方式有机结合的本真过程.

事实上，除了利用运算升级的类比规律去发现新大陆，我们还可以引导学生回到本节课最开始借助类比创造新数列的思维模式上来，例如：让学生在课下模仿本节课的学习方式，去建构诸如等和数列或者等积数列的知识体系，从横向思考的角度再次发挥类比这一思维工具的创新价值.

需要强调的是：我们提倡帮助学生积累非演绎思维的经验的先决条件是要求教师首先要形成运用归纳、类比进行教学思考的习惯与意识；另外，教师要有强烈的教会学生运用归纳与类比进行思考的教学意向，然后才是在教学实践中一招一式的示范.只有在老师的示范与帮助之下，学生才有机会通过日积月累来逐渐增强归纳与类比推理的经验，形成归纳与类比的思维能力，也唯有此，我们数学教育改革中一直希冀的“培养学生发现与提出问题和分析与解决问题的能力，进而培养创新的意识与能力”的目标才会不仅仅是改革的一种希望.

参考文献

[1] 《数学基本思想18讲》[M].史宁中.北京：北京师范大学出版社，2016-10.

[2] 《数学与知识的探索》[M].（美）M·克莱因著，刘志勇译.上海：复旦大学出版社，2011-12.endprint