数学深度学习：内涵、实践模式与展望

蒋安娜+唐恒钧

【摘 要】 深度学习是培养学生核心素养的重要渠道.目前指向数学深度学习的相关研究成果主要集中于内涵解读、实施模式及学习策略等方面.结合我国数学深度学习研究与实践的现状，今后的研究要更加重视数学深度学习多主题、多视角的理论探索，以及实证探究、深化教学的实践研究.

【关键词】 数学深度学习；内涵；实践模式；展望

近年来随着新课改的深入，尤其是旨在发展学生的核心素养，深度学习在教育领域掀起研究的热潮，相关研究成果逐渐丰富起来.当然具体到数学学科，深度学习的研究尚处于起步阶段.

1 数学深度学习研究概况

截止至2017年10月，通过在中国知网（CNKI）以“深度学习”并含“数学”为篇名，进行检索，查找到最早专门讨论数学深度学习的文章是2011年发表于《小学教学参考》上的《巧用数学学习“困境”，诱导学生深度学习》一文，并且检索到2011-2017年7年时间里发表文章为89篇，其中发文量最多的一年是2017年发表41篇.具体检索结果如下：

可见近年来，数学深度学习的文献逐年增加，教育领域对数学深度学习的关注度不断提高.分析2011-2017年7年间，在数学深度学习研究领域中，主要研究成果涉及以下方面：首先，关于数学深度学习的内涵与特征.比如，吕亚军、顾正刚于《初中数学深度学习的内涵及促进策略探析》中总结得出初中数学深度学习的主要特征和促进策略[1].郭元祥于《深度学习：本质与理念》中对人工智能领域与教育领域的深度学习概念给予区分，并着重介绍加拿大学者艾根的“学习深度”的三个标准[2].其次，数学深度学习教学实践模式方面的研究.比如，马云鹏于《深度学习的理解与实践模式》一文中以小学数学学科为例分析深度学习教学设计的基本要素，剖析深度学习教学设计的实践模式[3].陈柏良于《在深度学习中发展数学核心素养》一文中基于深度学习的理论对教学实录《三角函数的诱导公式（一）》进行评析，进而提出课堂教学过程开展深度学习以发展核心素养的教学方式[4].朱开群于《基于深度学习的“深度教学”》中展开以核心素养为指向的深度教学的实践探索[5].再次，数学深度学习策略建议方面的研究.比如刘孝宗、徐泽厚于《初中深度学习的基本策略》从架构知识结构、课程整合、切割高难度数学等三个方面提供学习建议[6].

2 数学深度学习内涵的解读

深度学习的概念广泛应用于人工智能领域和教育领域，但两大领域的深度学习存在本质的区别.在人工智能领域，深度学习是一种算法思维，其核心是对人脑深层次抽象认知过程，实现计算机对数据的复杂运算的优化.具体地，上世纪八九十年代人们就开始研究机器学习模型，特别是突破浅层模型，实现计算机抽象认知方面的研究.而在教育领域，美国学者马顿和萨尔约基于布鲁姆认知维度层次划分理论的实验研究，于1976年在《论学习的本质区别：结果和过程》一文中，提出了表层学习（Surface Learning）和深层学习（Deep Learning）的概念[7].这被普遍认为是教育领域首次明确提出深层学习的定义.近十年来国际影响力较大的是加拿大学者艾根教授领衔的“深度学习”（Learning in Depth， 简称LID）项目组所进行的研究，该研究探讨了深度学习的基本原则与方法[8].

國内关于深度学习的研究于近十年才兴起，2005年，黎加厚[9]在《促进学生深度学习》一文中，率先介绍了国外关于深度学习的研究成果，同时探讨了深度学习的本质.他认为深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，能够将已有的知识迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的一种学习方式.安富海[10]进一步指出深度学习是一种基于高阶思维发展的理解性学习，具有注重批判理解、强调内容整合、促进知识建构、迁移运用等特征.

综观教育领域国内外学者的文献，深度学习的概念一般都是基于与“浅层学习”概念进行对比得到，指向理解性学习，倡导层进式以及沉浸式的学习过程，反对机械式的学习.主张学习过程中通过对知识的理解，完善已有的认知结构，拓展提升思维能力.

就数学深度学习而言，马云鹏[3]认为小学数学深度学习是基于数学学科核心内容，组织学生在深度探究中发展的有意义的学习过程.吕亚军、顾正刚[1]认为初中数学深度学习是指在浅层学习的基础上，向探究式学习、发展高阶思维能力、构建拓展抽象型知识结构三方面转化，主动建构并进行有效迁移的过程.从中指出初中数学深度学习的五大特征：主动理解和批判接受；激活经验与建构新知；知识整合与深层加工；把握本质和渗透思想；有效迁移和问题解决.此外，孙学东、周建勋[11]基于核心素养的角度指出数学深度学习五大特征：学习内容整体认知；知识架构；积极合作且个性化了解；把握数学知识本质；知识迁移与应用.也有部分学者基于与浅层学习的比较，而得出深度学习的特征，例如周先荣[12]从四大思维特征十大学习指向进行探讨深度学习和浅层学习的特征比较.

综观上述文献，可以看到数学深度学习是一个立体的过程，相对机械式的浅层学习而言，关键在于如何在数学深度学习过程中渗透“深度”的思想.

首先，从知识角度出发，国内学者都将“深度”指向了完整而深刻地理解和处理数学知识本质的基础之上，即用全面的、联系的眼光处理数学知识的广度、深度和关联度，这与艾根从知识论角度提出的“学习深度”理论中的三个基本标准不谋而合.其次，从学习角度出发，“深度”指向学习者在学习过程中的充分参与和积极建构，并能进行有效的迁移运用.这与建构主义理论强调学习者的认知主体作用相符合.最后，从教学角度出发，“深度”指向“数学深度教学”的落实，通过设计以数学学科为载体的，综合数学知识的整体连贯性，让学生在问题情境中自主探究形成数学核心素养，发展数学思维能力.这三个角度也不是割裂独立的，而是互相交织渗透.例如，深度教学的落实必将以对数学知识整体脉络的把握为基础，而学习者也离不开精心设计的深度教学模式的引导.endprint

3 数学深度学习的意义与价值

3.1 满足数学学习的本质需求

马云鹏[3]指出深度学习中所形成的关于数学本质的理解，以及相关的数学思考和学习策略，有助于学生整体理解一类知识内容，形成知识与方法的迁移.徐章韬[13]指出数学学习理论应反映数学知识逐级抽象的发展过程以及数学学科的动态发展过程.

上述两位学者分别指出“深度学习”有助于理解数学学科内容的“知识群”特点以及数学知识螺旋动态上升的架构形态特点.首先，数学学科中的核心内容一般不是单一的知识点，往往是一个知识群，这就对课程设计提出较高的要求.而数学深度学习强调深度理解以及整合数学中某一知识群，用全面联系的眼光处理，从而达到这一类问题的有效解决和迁移，这将有利于探究数学知识本质.其次，在数学具体教学过程中，往往很难兼顾数学理论的抽象性、严谨性和形式化与数学发现过程中的直观性、经验性和归纳性这两个方面.如何在教学中渗透数学思想，培养数学核心素养是每一位教学参与者都应该思考的问题.而数学深度学习相关理论建设和发展也应在充分借鉴建构主义、认知主义等理论的基础上，考虑学科自身发展机制，从而使学习理论更能反映学科的学习机制，有利于学生进行知识重构、迁移运用等深度学习，从而发展探究能力.

3.2 满足深化课程改革的需求

《义务教育数学课程标准（2011版）》[14]在“实施建议”的“教学建议”部分提到：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志……教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程.”

但在课程改革过程中，课堂教学改革仍存在过于注重教学程序、教学技术、教学时间的浅层次改革和表层学习的局限性等问题.2014年，中国教育科学院院长兼教育部课程教材研究与发展中心主任田慧生研究员带领团队开始启动深度学习的项目研究.落实新课改的教学模式，必须从教学理念和教学方法的核心去真正地优化教学模式，而不是蜻蜓点水式的浅层学习和浅层教学.在数学深度学习中，挖掘数学知识体系核心，注重学习个体的理解参与，使得教学过程从简单的知识传递变为了学生参与体验的过程，提升了学生自主学习的能力和思维的发散力.

3.3 促进个人数学终身学习

数学是人类最重要的思维方式之一.数学教学的目的在于使学习者学会用数学的眼光去认识自己生活的社会和环境，以数学的思维方式进行思考，最终将所学的数学知识与数学方法在实践中合理的应用.而数学地看待和解决问题的素养是在一节课、一个单元、一个主题的学习中逐步完善的[15].在数学深度学习的过程中提高学生发现和解决实际问题的能力，促进学生关键能力和数学学科核心素养的形成.深度学习促进学习者全面而长远发展的目标，其作为一种重要而有效的学习方式和学习理念，将使人终身受益.

3.4 满足社会发展的需要

自20世纪中叶以来，数学为社会的进步创造了许多价值.如信息与计算科学的发展，数字金融的应用等等，信息技术的迅猛发展，人们生活方式和思维观念的改变，也使得被动式、机械式的学习方式不再适用.2006年，加拿大学者辛顿于《利用神经网络刻画数据维度》中提出计算机深度学习模型掀起了深度学习的热潮[16]，来自脑科学，人工智能领域的新成就引起教育领域研究者的深刻反思.计算机尚且能模拟人脑的深层结构和抽象认知，那人类对知识的学习过程是否也有深层和表层之分？信息技术环境支持下深层次的深度学习的研究发展又该如何展开[2]？这便是教育领域发展研究的一大研究方向.

4 数学深度学习实施模式与策略

深度学习的实施设计可以围绕数学学科的核心内容展开，整体剖析一组知识群，挖掘数学价值，确定学生发展的整体目标，在此基础上进行整体设计与实施，促进学生的综合素质和关键能力的发展.

一方面，学者们围绕数学深度学习开展过程的几个重要方面进行了策略探讨.华志远[17]提出从开发本源性问题、注重整体理解、对话互动生成、开展探究性学习四个方面进行教学路径设计，最终体现数学深度学习的本源性、整体性、联系性和建构性等特点.吕亚军，顾正刚[18]提出基于深度学习的初中数学课堂优化路径：激活探究建体系；以元认知引反思；过程性评价促发展；数学本质悟思想.刘孝宗、徐铎厚[6]提出数学深度学习展开要从数学知识结构、课程整体设计、区分数学深度学习和高难度教学这三个维度进行，指出数学深度学习要面向全体学生，真正培植学生深层思考和学习的能力.戴健[19]则是独具匠心地运用元认知训练策略从活跃氛围整体理解、培养发现能力、归纳感悟知识应用三个方面进行深度学习的课堂实践.

可以看到，深度教学的实现，需要在知识观、教学价值取向、教学过程及教师角色方面进行相应的调整和改变[20].而以上观点也普遍提到准确把握学情和深刻解读教材是课堂教学设计的基点，是引导学生深度学习的基点[21].

另一方面，不少学者则提出比较具体的课堂教学模式的开展步骤.孙学东、周建勋[11]基于我国已有教学传统优势的基础上提出开展数学常态课堂的深度学习的模式：营造课堂文化，开展单元设计，变式与整合，多角度体验（例如几何直观与方程模型），即时性评价.马云鹏[3]基于学习内容理解和学科核心素养的深度探究，建立起数学学科开展数学深度学习教学设计的一个实践模式：学習单元的选择，单元内容的整体分析，单元整体目标和探究主题的确定，教学策略与方法的选择，持续性评价设计，教学实施与反馈.王文明[22]将教师课堂行为有机分解，以递进化和层次化为序，最终将深度学习和有效教学化为研学、展学、辅学、评学四个环节，并对其展开详细阐述.

上述具体的数学课堂深度学习展开模式都很好地体现了重要路径方向的注意点，且十分注重数学知识网络的广度、深度、关联度，渗透4R教学[23]，使得实际数学课堂的开展环环相扣，真正做到了有效教学和深度学习的结合.endprint

5 认识及展望

近年来，数学深度学习逐渐成为人们关注的一个热点问题，人们对数学深度学习的认识逐步明晰，也取得了较大的进展.首先，明确了“深度学习”的进步性.“深度学习”是指向学生核心素养的培养，借鉴建构主义理论等先进理论成果，并与中国教育发展现状相结合的产物.其次，研究范围不断扩大.涉及到内涵界定、实践策略、数学教学案例分析等方面.再次，理论研究注重结合课堂实际.相关文献大都以小学、中学数学课堂教学为例子进行阐述，使得理论与实践的关系更为紧密.最后，研究队伍多元化，既有高校、研究机构的研究者，也有中小学教研员、教师.无论是学院派，还是实践派，均从各自的研究视角出发来阐述对“数学深度学习”的认识，提升了研究水平和研究质量.但未来还需要在以下方面得以进一步的推进.

5.1 进一步丰富研究主题

现有文献更多地侧重于深度学习的教学实践操作的研究，而缺乏对深度学习的理论基础、价值指向，以及深度学习的课程支持、深度学习的评价等方面进行研究.因此研究主题有待进一步丰富.例如，可以进一步关注“数学深度学习”与“核心素养”的关系.又如，可以通过中西方数学深度学习的比较研究；深度学习与浅层学习的比较研究，以进一步拓宽研究主题与视角.

5.2 进一步加强实证研究

可以看到数学深度学习研究成果主要是以思辨性为主，缺乏实证研究，这在一定程度上影响了研究结果的说服力，当然这与“数学深度学习”这一领域的研究历史较短有关.今后需进一步通过实证研究，用数据验证数学深度学习的理论假设，进一步明确数学深度学习的价值与局限，用实证研究分析开展数学深度学习过程中的影响因素及机制.

5.3 進一步强化研究的系统性

目前的研究以通过案例阐述数学深度学习实践模式为主，还缺少整体脉络的梳理.如目前尚无关于“数学深度学习”发展的历史.因此需要进一步建成数学深度学习理论的体系，加强顶层设计，注意整体协同，丰富课改发展内涵.从而为考察课程改革及其发展趋势提供方向指引，也为实践者提供理论基础，将“数学深度学习”向“数学深度教学”转化.

数学深度学习已然受到了教育理论者和实践者的广泛关注，但相对而言还是一个新的研究领域，需要在不断研讨、实证中继续完善其研究体系.而数学深度学习的真正落实、实践更是需要漫长时间的努力，还有待广大教育研究者进一步的实践探索.

参考文献

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[2] 郭元祥. 深度学习：本质与理念[J]. 新教师，2017（07）：11-14.

[3] 马云鹏.深度学习的理解与实践模式——以小学数学学科为例[J].课程·教材·教法，2017，37（04）：60-67.

[4] 陈柏良. 在深度学习中发展数学核心素养[J]. 中学数学教学参考，2017（13）：9-11.

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