理解力培养与高中数学变式教学的有效性

陶述兵

摘 要： 学生在数学课堂上的学习效果很大程度上取决于学生在课堂上思维参与的深度与广度，取决于他们对数学概念、数学问题理解的程度.如何帮助学生理解、巩固教学内容？如何培养学生的理解力？问题是通向理解之路，好的问题是数学知识体系的生长点，也是课堂教学的生长点，而问题变式正是生产好问题的“法宝”.变式教学是课堂教学的一种重要的呈现形式，这种教学形式不仅能深刻地揭示教学内容的数学本质，而且能使数学课堂变得丰富而又精彩，有效调动学生思维的积极性.

关键词： 变式 以人为本 再创造

1.有效的变式问题必须有明确的目标取向

变式问题要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的内容、目的和要求，要有助于学生对本节课学习内容的深层理解和掌握.

【例1】（高二第二学期课本P45椭圆的标准方程例2）已知定点F（-4，0），F（-4，0）和动点M（x，y），求满足条件|MF| + |MF|=10的点M的轨迹方程.

变式1：已知定点F（-4，0），F（4，0）和动点M（x，y），求满足条件|MF|+|MF=8的点M的轨迹方程.

变式2：已知定点F（-4，0），F（4，0）和动点M（x，y），求满足条件|MF|+|MF|=2a（a>0）的点M的轨迹方程.

变式3：已知定点F（-4，0），F（4，0）和动点M（x，y），求使得△FFM的周长为18的点M的轨迹方程.

变式4：已知焦点F（-4，0），F（4，0），且经过A（3，12/5）的椭圆的标准方程.

变式5：已知椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为8，且经过A（0，5），求它的标准方程.

变式1和变式2是为了展现椭圆概念的内涵和外延，提示椭圆概念的本质而设置的；变式3和变式4是为了让学生有目的地开展思维活动；变式5不仅将课本中的例题3融入其中，而且体现了椭圆标准方程的灵活应用.这样的变式处理能在不知不觉中唤起学生的学习热情，有效地在短暂的时间内提高学生运用知识的能力和分析问题的能力，避免了计算的重复和浪费，更有利于学生对概念的深层理解.

【例2】（高一第一学期课本P38其它不等式的解法例1）解不等式>2.

变式1：解不等式（x-1）（3x-2）（x+2）≤0.

变式2：解不等式≤0.

变式3：解不等式≤0.

变式4：解关于x的不等式>2（a∈R）.

课堂教学中设置变式1是为了引进解答分式不等式的一般方法——标根法；变式2与变式3是同一问题在不同角度、不同层面上的展现，考虑到学生在问题解决过程中可能产生的错误，设置了“陷阱”；变式4引入参数增加了问题的难度，渗透了分类讨论的思想.这样的变式教学可使问题由浅入深，步步为营，达到一定的难度，而又不至于让学生在学习时感到跨度太大，并可以有效发展学生思维的深度和广度，培养学生思维的严密性，在教学过程中有利于师生互动，容易驾驭课堂.

2.有效的变式问题的设计要适时适量

变式问题式是对教材理解的合理补充和拓展，变式应在学生思维水平的“最近发展区”，符合学生的认知规律和心理特征，有效的变式问题应考虑不同学段的呈现形式.

例3.（高一第一学期课本P63函数的运算例2）设f（x）=x，g（x）=，p（x）=f（x）+g（x），求p（x），并利用y=f（x）及y=g（x）的图像作出y=p（x）的图像.

变式1：判断函数y=x+的奇偶性，并写出它的单调区间.

变式2：如果函数f（x）=x+，（m>0）在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，求m的值.

变式3：求函数f（x）=x+，（m>0）在（0，+∞）上的最小值.

变式4：已知不等式x-mx+4≥0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围.

变式5：设常数m∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值.

变式6：当n是正整数时，研究函数g（x）=x+（m>0）的单调性，并说明理由.

教材安排原题的目的是为了让学生理解两个函数和的意义，体会用函数图像叠加的方法作函数图像的过程.如果我们在课堂上应用上述变式问题显然是不适时的，但如果我们在完成函数的基本性质的教学任务后，将这组变式问题中的变式1到变式3安排在复习课或习题课上，这不仅给学生提供了问题研究的方向，而且让学生充分体会了函数y=ax+（a，b∈R）的基本性质的研究过程.由于学生在高一第一学期处于初、高中的过渡阶段，同一问题的变式不宜过难、过量，故上述问题的另外三个变式可安排在高三复习课中实施.

3.有效的变式教学应在问题解决的过程中激活数学思想方法

数学问题的解决过程实际上就是在数学思想的指导下，运用合理的数学方法探求问题答案的过程.在教学过程中，我们常常会碰到这样的情况：学生不仅具备了解决问题所需要的全部知识，而且知道了相应的解题方法，但仍然苦思不得其解，但经提示点拨后又恍然大悟，这说明学生对数学概念的理解停留在记忆和机械操作的层面，只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云.合理使用变式教学，可以启迪学生思维，开拓解题思路，激活数学思想方法.

例5.求函数y=2sin（2x-）的最大值，并指出函数取最大值时x的集合.

变式1：求函数y=sin2x-cos2x的最大值，并指出函数取最大值时x的集合.

变式2：求函数y=2sinxcosx-2cosx+的最大值，并指出函数取最大值时x的集合.

变式3：求函数y=2sin（2x-），x∈0，的最大值，并指出函数取最大值时x的集合.

本题涉及正弦函数的有界性，两倍角公式和辅助角公式.变式1和变式2的问题解决过程中均隐含了化归思想；对变式的教学可渗透换元法和数形结合的思想.

例6.1993年高考数学试题（理工农医类）的第18题：已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

变式1：已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是25°的直线有且仅有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

变式2：已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是65°的直线有且仅有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

变式3：已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与所成的角都是75°的直线有且仅有（ ）

（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条

变式4：已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角α（0°≤a≤90°）都是的直线有且仅有？摇 ？摇？摇？摇条.

变式5：已知异面直线a与b所成的角为θ（0<θ<■），P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是α（0°≤a≤90°）的直线有且仅有？摇？摇？摇 ？摇条.

这是一道源于课本又高于课本，既考查基础知识又考查能力的好题，解决问题的方法是紧扣两条异面直线所成角的定义，通过平移把问题转化为过点的三条直线的位置关系的讨论.教学中把它应用于课堂，进行变式训练，可使学生经历由特殊到一般的思维过程，学会“数学的思维”.

4.有效的变式教学应关注学生的参与度

要突出以“教师为主导，学生为主体”的新课程理念，强化课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识.如何加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人.一个理想、有效的变式问题，一组切实可行的变式题组，可体现课堂教学对象中各层次的现实需求，这是教科书无法达到的.

例7.（高一第一学期课本P70函数的基本性质例7（1））求二次函数y=2x-3x+1的最小值.

变式1：求函数y=2x-3x+1，x∈[-1，1]的最小值.

变式2：求函数y=-2x-3x+1，x∈[-1，1]的最小值.

变式3：求函数y=2x-3x+1，x∈[-1，a]（a>-1）的最小值.

变式4：求函数y=2x-ax+1，x∈[-1，1]的最小值.

变式5：已知函数y=2x-ax+1，x∈[-1，1]的最小值为3，求a的值.

变式6：已知不等式2x-ax+1≥3，x∈[-1，1]在上恒成立，求a的取值范围.

本题采用了由特殊到一般，由具体到抽象的动态变式方法，由浅入深，设置了一连串的变式问题，不仅把二次函数在给定区间上的最大值与最小值的各种情况得以展现，突破了二次函数相关问题的教学难点，而且保证了不同层次学生的需求.这样的变式教学可使不同层次学生的理解力得以相应提高，真正体现了“以人为本”的关怀取向.

进入终身学习的时代，学习能力更突出地成为人才的核心素质，理解力是学习能力的最关键的指标.优质的变式问题，鲜活的课堂变式教学正是对学生理解力培养的有效途径.让我们共同努力，使变式教学成为数学的学术形态转变为教学形态的自然通道，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

参考文献：

[1]康士凯.中学数学能力.科学技术文献出版社，1992.7.

[2]罗增儒.关于情景导入的案例与认识.中国数学会.北京师范大学.数学通报，2009.4.

[3]张硕，石俊娟.关于中学数学思想方法教学的思考.中国数学会.北京师范大学.数学通报，2007.11.7.11.