要想构建概念，必先理清关系——以“乘法分配律”教学为例

江苏盐城市建军路小学 于正军

“乘法分配律”是小学阶段数学学科中一个十分重要的定律，相对而言，它形式更为复杂，使用范围更为宽泛，理解难度更大。“乘法分配律”涵盖了乘法和加法两种运算的内在运行机制，需要一定的综合能力才能灵活掌握和应用两位数乘法计算次序、矩形周长公式的提炼、路程等问题。

一、联系生活实际 提取原始经验

创设贴近学生生活现实的情境，能有效提取学生的生活经验。课本以绿化活动为话题情景，全面展示了绿化的各个环节。教学时不妨让学生根据主题图提炼信息，学生可以畅所欲言，也可以结合图中文字转述，再引导学生根据这些信息提问。可供参考的问题很多，其中“参加绿化活动的人数是多少？”这个问题包含了乘法分配律解决问题的可能性。题目相关信息：共有23个小队，每队中有3人从事植树种草工作，2人从事清扫垃圾工作，2人取水育苗。每队要种7棵松树苗，每棵树苗需要先浇2桶水。

思考：参加绿化活动的共有多少人？哪些条件对你解题有帮助？

这两个问题是很容易想到的。如第一问：求总人数，这是每学期都会接触到的总量问题。无非就是部分量加部分量等于总量，体现的也是分量和总量之间的关系，只是因为数据不同而可以选择不同方法，当每份数相等时，采用乘法计算。第二问：哪些条件对你有所帮助？筛选有用条件，也是解题的必备技能。联系绿化活动实际，可以唤起学生的学习兴趣，促进学生解决实际问题。学生一般会选用惯用的方法解题，如（3+2+2）×23与3×23+2×23+2×23，从中不难发现学生的经验已被激活。

二、分层理解数理关系 促进概念重塑

教师在教学“乘法分配律”时，从发现相等到探究真相，可以通过两个层次来教学，多层次帮助学生完成意义构建。

（一）追根溯源，发现相等

生1：（3+2+2）×23=161（人）

生2：3×23+2×23+2×23=161（人）

思考：（3+2+2）×23=161与3×23+2×23+2×23=161这两个式子能不能画等号？

学生能从结果相同判定算式相等，也能通过对题意的分析，看出只要算式的指向性一致，结果就是对的。当然这只是低层级的发现，没有多少思维含量，此时学生的思考是机械浅表的，只有进行深度思考才能完成意义构建。

（二）深度加工，证明相等

前面是结合题意和得数来判别算式相等的，而运算定律的学习掌握一定要达到抽象意识的高度，也就是抛开一切材料表象，单纯就算式本身，来理解相等的合理性、合规性。

思考：（3+2+2）×23=161与3×23+2×23+2×23=161这两算式，一个求积，一个求和，积与和是两码事，怎么最后画起了等号？

这个问题看似简单却暗藏玄机，学生既要追溯加法、乘法的渊源，又要熟知四则运算混合后的运算定律，经过一段时间的充分酝酿思考，学生可以阐述清楚：左边是先求出每队总人数，再求出23队总人数，所以是求积；右边先分别求出绿化团中各个工种的总人数，再把各个岗位上的人数加起来，所以是求和；其实它们的目标是一致的。教师适时引导，学生就能理解7个23与4个23加2个23再加上2个23，其实是一致的。

通过打通“求积”与“求和”之间的逻辑关联，学生提取已有的认知经验，证明两个算式是相等的。

三、检视细微差异 加固模型结构

数学活动经验包括经历回忆和提取经历教训的过程。只有释放更多的空间让学生自由探究，独立思考与充分研讨，对问题的审读才能全面深刻，使思路更明确，方法更多样，概念理解更到位。

细节只有通过用心查验才能发现。“乘法分配律”一般是先理解算理再理解定律公式，一旦学生理解了公式，就会立即进行应用，这样机械记忆和生搬硬套就会裹带进去。所以笔者认为，有必要让学生仔细甄别排查两个算式的细微差别，找出结构特征上的关联。

思考一：两个算式虽结果相等，但是形式不一样。

学生从两个角度描述异同点：

第一，字符算符不一，一个有括号一个没有；“+”和“×”的数量与排列分配不一样。

第二，数字不一样，一个算式23只出现1次，一个算式23出现3次。

思考二：右边算式23为什么出现了3次？左边算式3、2、2都是加数，到了右边怎么变成乘数？

思考三：用自己的语言讲一讲，两个算式是怎么转化的。

生：从左往右看，三个数的和与一个数相乘，可以把每个加数分别与公共关系因数相乘，分步分批求积，再累计。从右往左看，带有公共因数的几个单项式，可以将公共因数提取出来，再求出积。学生的陈述过程其实就是分析理解分配律的过程。

对于一些基本数学概念公式定理的理解掌握，学生仅仅做到熟练使用是不够的，必须做到灵活运用随机变换。“乘法分配律”既难以理解又难以表述清楚，高年级的学生也是较难理解的。由此可见，大量练习是能够起到巩固强化作用的。

日籍教育博士佐藤学认为：学习是与外部世界相遇、相知、相交的过程，通过与外部世界的交互对话，学习者重新建立了与对象世界的精神关系。在“乘法分配律”的学习过程中，学生经历类似的精神交流，沟通实际，激活经验，分层推进对关系的理解，唯有如此，他们才能切实理解和把握乘法运算律。♪