“不都”or“都不”？

王爱军

对“三个实数a，b，c都相等”进行否定，结果为“a，b，c不都相等”还是“a，b，c都不相等”呢？你曾经产生过这样的纠结吗？不少同学对“不都”和“都不”的意义混淆不清，导致在解题时产生错误．那么我们如何正确理解它们呢？首先，我们必须要弄清楚以下的结论：

（1）含有一个量词的全称命题的否定，若全称命题p：∀x∈M，p（x），则它的否定┐p：∃x∈M，┐p（x）．全称命题的否定是存在性命题．

（2）含有一个量词的存在性命题的否定，若存在性命题p：∃x∈M，p（x），则它的否定┐p：∀x∈M，┐p（x）．存在性命题的否定是全称命题．

一般地，量词“都”表示全部，无一例外，含有量词“都”的简单命题是全称命题．“都不”表示全不，即一个也没有，含有“都不”的简单命题其本质上依然是全称命题．而“不都”表示不是全部，即至少存在一个不是，包含一部分不是或者全部不是，它是对量词“都”的否定，因此，含有“不都”的简单命题也通常可以理解为存在性命题．

简而言之，含“都不”和“不都”的简单命题有如下区别和联系．

联系：“不都”和“都不”都表明至少存在一个不是．

区别：（1）“不都”是“都”的否定，“不都”表明可能局部不是，亦有可能全部不是，其包含“都不”这一特殊情况，即“都不”是“不都”的子集；

（2）含有“都不”的简单命题其本质上依然是全称命题，含有量词“不都”的简单命题通常是存在性命题．

一、“不都”与“都不”在常用语与数学逻辑用语中的意义辨析

例1（1）本次学科竞赛获奖者不都是我们班的．

（2）本次学科竞赛获奖者都不是我们班的．

辨析（1）作为常用语“本次学科竞赛获奖者不都是我们班的”的理解常常带有暗示大多数学科竞赛获奖者都是我们班的，仅有少数不是我们班的；但从数学逻辑用语的角度准确理解这句话，应包含“部分是我们班的”或“全部不是我们班的”．（2）对“本次学科竞赛获奖者都不是我们班的”的理解在常用语与逻辑用语两方面意义相同，没有歧义．因此我们应注意常用语理解的片面性、不准确性，学会利用数学逻辑知识准确严密地理解一个命题．

二、含有“都”的简单命题的否定

例1请写出下列命题的否定：

（1）所有小猫都喜欢吃鱼；

（2）小猫不都喜欢吃鱼；

（3）所有小猫都不喜欢吃鱼．

解（1）否定：并非所有小猫都喜欢吃鱼，即有的小猫不喜欢吃鱼．

（2）“小猫不都喜欢吃鱼”即“有的小猫不喜欢吃鱼”，其否定：所有小猫都喜欢吃鱼．

（3）否定：并非所有小猫都不喜欢吃鱼，即“有的小猫喜欢吃鱼”．

点评含“都”、“都不”的简单命题是全称命题，含“不都”的简单命题是存在性命题，认识到这一本质是顺利写出其否定的前提和关键．

三、含有“都”且带语气助词的命题的否定

例2写出命题“全等三角形一定都相似”的否定．

错解1全等三角形不一定都相似．

错解2全等三角形一定都不相似．

点评有的同学认为“一定都”的否定是“不一定都”，其实“不一定都相似”包含了“都相似”与“不都相似”两类，其意思表达比较模糊，没有给出明确论断，因此它不能作为原命题的否定．对“全”、“都”的否定，只要在前面加一个“不”．而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定区别．在对“一定”、“一定都”等否定时，可分两步进行，先将“一定”两字拿掉，对剩下的命题进行否定，再将“一定”两字放在“不”的前面．本题正解：全等三角形一定不都相似．

四、隐含“都”的命题的否定

例3写出命题“负实数的相反数是正实数”的否定．

错解负实数的相反数不是正实数．

点评命题“负实数的相反数是正实数”是隐含“都”的命题，理解这个命题时我们首先应该补全被省略的量词，以便准确把握命题的本质，其完整表达应是“所有负实数的相反数都是正实数”．因此这个命题是全称命题，其否定就应该是存在性命题了，我们不能简单地将“是”改成“不是”草草了事，还应该注意量词的改变，因为错解“负实数的相反数不是正实数”实际上依然是一个全称命题，即“所有负实数的相反数都不是正实数”，其不合理性就显而易见了．本题正解：并非所有负实数的相反数都是正实数，即“有的负实数的相反数不是正实数”．

“不都”，还是“都不”？关键是洞穿其本质，然后只要按照存在性命题和全称命题的知识按部就班地处理，问题就迎刃而解了．