加权差异测度与模糊推理的鲁棒性分析

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(浙江理工大学理学院，杭州 310018)

0 引 言

对于FMP(Fuzzy modus ponens)和FMT(Fuzzy modus tollens)这两种模糊推理形式,Zadeh[1]提出了合成推理算法(简称CRI算法)。鉴于CRI算法缺乏严格的逻辑基础，王国俊[2]提出了全蕴涵三I算法(简称三I算法)。Ying等[3]提出了模糊集最大扰动和平均扰动的概念，分析了模糊推理算法的最大和平均扰动参数。戴松松等[4]提出了相对扰动的概念，并利用相对扰动的概念分析了CRI算法的鲁棒性。Wang等[5]比较了由不同类型测度诱导的δ等价的概念。Jin等[6]也研究了基于逻辑等价测度模糊集的扰动。

Montes等[7]提出了一种差异函数的概念来度量模糊集之间的距离。之后，Li等[8]基于不相似函数和模糊等价提出了两种构造差异测度的方法。在这两种构造差异测度的基础上，Li等[9]用不相似函数构造出差异测度的公式，并延拓了模糊集之间的扰动性，分析了CRI算法的鲁棒性。但在实际应用过程中可以发现，Li等[9]构造出的差异测度并不能充分地利用所有的信息，即会导致部分信息的缺失。针对这一问题，本文提出了加权差异测度的概念，并与已有的差异测度概念作了比较。同时，在加权差异测度的基础上，研究了CRI算法和三I算法的鲁棒性。本文推广了文献[9]中的相关结论。

1 加权差异测度

本文中，X表示论域，论域X上所有分明集组成的集合记作P(X)，论域X上的所有模糊集组成的集合记作F(X)。

映射I：[0,1]2→[0,1]称为模糊蕴涵，简称蕴涵，如果I关于第一变元不增，第二变元不减，且满足I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1和I(1,0)=0。文献中I(x,y)也简写为x→y，其中x,y∈[0,1]。

映射T：[0,1]2→[0,1]称为t-模，如果T是结合的，交换的，单调的，并且满足条件T(1,a)=a(0≤a≤1)。t-模T是左连续的，如果T(a,supxi)=supT(a,xi)，i∈E成立，这里E为任意指标集，xi∈[0,1]。

t-模T的剩余是函数R：[0,1]2→[0,1]，对x，y∈[0,1]，R(x,y)=sup{α∈[0,1]|T(x,α)≤y}。t-模的剩余是蕴涵，称为R-蕴涵。t-模T的双剩余是函数ET：[0,1]2→[0,1]，对x，y∈[0,1]，ET(x,y)=min(R(x,y),R(y,x))。

下述差异测度的概念是本文重点关注的内容。

定义1[8]函数D：F(X)×F(X)→[0,∞)称为差异测度,如果D满足以下条件:

(D1)D(A,B)=D(B,A)对任意A，B∈F(X)；

(D2)D(A,A)=0对任意A∈F(X)；

(D3) 对任意A，B，C∈F(X)，如果A⊆B⊆C，则max(D(A,B),D(B,C))≤D(A,C)；

(D4)D(A,B)≤D(P,Pc)对任意A，B∈F(X)，P∈P(X)，其中Pc表示P的补集。

定义2[9]二元函数d：[0,1]2→[0,1]称为不相似函数，如果d满足以下条件：

(d1)d(x,y)=d(y,x),x,y∈[0,1]；

(d2)d(x,x)=0,x∈[0,1]；

(d3)d(1,0)=1；

(d4) 对任意x，y，z∈[0,1]，如果x≤y≤z，则max(d(x,y),d(y,z))≤d(x,z)。

如果由t-模T的双剩余ET按照dT=1-ET诱导的不相似函数dT是[0,1]上的度量，文献中称dT为DF-度量[9]。

命题3[9]设论域X={x1,x2,…,xn}，d为不相似函数，对任意A，B∈F(X)，定义D如下：

其中ɑ>0，b>0，则D是一个差异测度。

上式可以改写为

由上式可以看出，D实际上是对d(A(xi),B(xi))的每一项权重均取1/n的一个函数，因此在实际应用中有一定局限性。为了弥补这个缺陷，下面本文对其作适当推广。

命题4设论域X={x1,x2,…,xn}，d为不相似函数，(ω1,ω2,…,ωn)为权重向量，对任意A，B∈F(X)，定义D1如下：

其中ɑ>0，b>0，则D1是一个差异测度。

证明：很明显D1满足条件(D1)和(D2)。下证D1满足条件(D3)，(D4)。考虑函数

那么由

知函数f(t)单调递增。如果A⊆B⊆C，即A(xi)≤B(xi)≤C(xi)，xi∈X，那么则有

在本文以下的部分中，称由命题4给出的差异测度D1为加权差异测度。

由D1的定义可以看出，加权差异测度是差异测度的推广。

又，当ɑ=b时，D1简化为

2 模糊运算与模糊推理的鲁棒性分析

对于模糊集合之间的运算，有如下结论成立。

定理5设T是t-模，R和ET分别是T的剩余和双剩余，dT是由ET诱导的不相似函数。假设dT是DF-度量，D1是命题4给出的加权差异测度。若A≈(ε1)A1，B≈(ε2)B1，则A∘B≈(λ)A1∘B1，这里∘∈{∪，∩，T，R}，且

因此有，

又因为dT(A∘B(xi),A1∘B1(xi))≤dT(A(xi),A1(xi))+dT(B(xi),B1(xi))(见文献[9])，则

由函数f(t)的单调性知，

D1(A∘B(xi),A1∘B1(xi))=

注意到，D1(A∘B(xi),A1∘B1(xi))≤1，故有

D1(A∘B(xi),A1∘B1(xi))≤

证毕。

关于模糊推理两种算法(CRI算法和三I算法)及其FMP型解和FMT型解的具体介绍请参阅文献[1-2]。

党的十九大报告指出：我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段，正处在转变发展方式、优化经济结构、转换增长动力的攻关期。必须坚持质量第一、效益优先，以供给侧结构性改革为主线，推动经济发展质量变革、效率变革、动力变革。报告为集团公司炼化、销售业务的改革发展指明了道路，理清了方向，为化解产销矛盾提供了理论依据。

对于CRI算法的鲁棒性分析，有如下结论：

又因为

dT(A1(xi),A2(xi))+dT(B1(yj),B2(yj))]≤

其中

证毕。

仿照定理6的证明过程，对于CRI算法的FMT型解的鲁棒性，可得如下结论。

可以看出，定理5中扰动参数λ的值与文献[9]中命题7的扰动参数值相等，定理6和定理7是[9]中相应结论的推广。

三I算法作为CRI算法的改进，其鲁棒性分析有如下结论。

由于定理7—9的证明和定理6的证明类似，所以略去定理7—9的证明过程。

3 结 论

本文在差异测度的基础上，提出了加权差异测度的概念，以满足解决实际问题的需要。然后，从模糊集之间运算的扰动和模糊推理的鲁棒性这两个方面，分析了基于加权差异测度产生的模糊集运算的扰动性态和模糊推理的鲁棒性。本文的研究结果推广了文献[9]中的对应结论，使得人们在应用这些结论时具有更多的合理选择。

在未来的工作中，我们将对加权差异测度的概念和相似度等概念进行统一处理，并从加权差异测度入手，讨论其他模糊推理算法的鲁棒性。

[1] Zadeh L A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes[J]. IEEE Transactions on Systems,1973,3(1):28-44.

[2] 王国俊.模糊推理的全蕴涵三I算法[J].中国科学(E),1999,29(1):43-53.

[3] Ying M S. Perturbation of fuzzy reasoning[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1999,7(5):625-629.

[4] 戴松松,裴道武.模糊集的相对扰动[J].模糊系统与数学,2011,25(5):1-6.

[5] Wang G J, Duan J Y. On robustness of the full implication triple I inference method with respect to finer measurement[J]. International Journal of Approximate Reasoning,2014,55(3):787-796.

[6] Jin J H, Li Y M, Li C Q. Robustness of fuzzy reasoning via logically equivalence measure[J]. Information Sciences,2007,177(22):5103-5117.

[7] Montes S, Couso I, Gil P, et al. Divergence measure between fuzzy sets[J]. International Journal of Approximate Reasoning,2002,30(2):91-105.

[8] Li Y F, Qin K Y, He X X. Dissimilarity functions and divergence measures between fuzzy sets[J]. Information Sciences,2014,288(288):15-26.

[9] Li Y F, Qin K Y, He X X, et al. Robustness of fuzzy connectives and fuzzy reasoning with respect to general divergence measures[J]. Fuzzy Sets and Systems,2016,294:63-78.