构造法在高中数学解题中的应用方法

王竞

【摘要】解决数学问题的方法有很多，其中构造法就是一种较为有效的解题思路。顾名思义，构造法的本质在于“构造”，要求学生熟练掌握知识点的基础结构、体系、概念和规律。总的来讲，构造法几乎适用于每一种题型，包括数列、函数、曲线、几何、代数等，旨在考察学生观察问题与数学联想性思维。文章结合本校高二数学教学实际，以圆锥曲线一些疑难题目的解题技巧为主要研究方向，浅谈一些高中数学解题与构造法的科学思路与运用经验。

【关键词】构造法 高中数学 圆锥曲线

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）48-0146-01

一、数学思维与构造

数学是高中学习中的一门关键学科，无论是对于文科生来说还是对于理科生来说，均富有较强的挑战性。与其他学科相比，由于高中数学分数占比较大，再加上很容易与其他同学拉开分差，所以成为了绝大部分学生的主攻课程。然而，还是那句老话“会的不难，难的不会”。对于大部分处在中下等水平的学生而言，学起来的确很吃力。实际上这种学习层面和数学能力上的差距是全方位的，并不存在所谓的一知半解，因为真正能掌控数学解题空间的学生，并不会频繁犯错。与之相反，其他部分学生经常处在“会与不会”的尴尬境地，而多次的考试测评成绩则可以说明一切。

如上，尽管如此，对于数学水平非拔尖的大部分学生而言，帮助他们拓宽数学问题的思考空间，多提供一些解题思路和技巧，对于遇到一些新颖的考试题目时很有大帮助。更重要的是，在显著提升学生成绩的同时，更侧重于对绝大部分学生思维的再创造、再塑造，这才是新课标的教育理念和育人目标。具体来看，构造法侧重培养学生们的逆向思维，即相对于定向思维而来。当定向思维难以有效解决问题的时候，要求学生立即转变关注问题的视角，用新的观点来观察、分析，并尝试着理解。根据题设条件和结论的特征，构造出相关的满足条件。包括由已知结果来构造有依据的过程思路，或者反推等。

二、圆锥曲线解题中合理运用构造法

如上述所言，构造法是对于定向思维解题思路而言。简言之，就是基础解法的升级和灵活变通。何为基础解法，以圆锥曲线这一章节为例。在教学中，最开始方法传授均是从基础解法开始。教师考虑到学生刚接触新知识，首要解决的任务就是让学生先行了解，掌握简单的解题思路。到了后期，随着学生内心知识体系成熟之后，包括题目的难度以及解题的思维思路，均可再次提升层次。所以，基础解法就是要求学生运用概念来解题，也可以利用性质来解题。构造法则是基于上述的拓展延伸，最终实现巧妙解题。

1.构造图形法

例题1：设F1、F2 分别是某椭圆的两个焦点，假设在此椭圆上存在点P ，且∠F1PF2为直角，求离心率e 的范围。

对于此类题目，并不能结合已知的部分条件直接获取答案，所以，更侧重于考查对学生的基础知识掌握程度，以及拓展训练的水平。此类题目一般需要学生自主创设出有利条件。相对而言，通过构造几何图形更加直观有效。故解题思路：已知点P在椭圆上，并且∠F1PF2为直角，故可得知F1、P、F2属于直径为F1F2的同一个圆上。由此进一步得出，圆的半径大于等于椭圆短半轴，一般被表示为c≥b ，所以c2≥a2-c2， 最终得出 e2≥1/2，所以离心率e 的取值范围在/2 和1之间，即/2 ≤e<1 。

如上，在笔者看来，无论是从单纯的思维视角来看，还是考虑到时间成本，均需要一切围绕着如何解题简单就如何推进。但是，仔细观察一番不难发现，这道题目并非表面看上去那么简单，并且上述提到的概念、性质解题思路也很难快速有效推进。故此，遇到困惑时学生应当多联系其他方法，尤其是课堂上老师传授的各类巧妙解题思路。再次多观察10-20秒的时间，会有新发现，题目可直接构造应用。

2.构造方程法

构造图形法的本质属于简易的证明，以证求证。

例题2：已知三角形ABC的顶点A和B在某椭圆上，椭圆方程为x2+3y2=4。其中，另一个顶点C 则处在直线L 上，直线L方程为 Y=X+2 ，且L与直线AB平行，问：当∠ABC为直角时，且斜边AC的长度最大，求AB两点所在直线L1的方程表达。

结合笔者所在几个班级学生的实际情况来看，对于大部分学生来说，当看到此类题目时，会在短短的10-20秒时间内找寻出最有利的一条信息，那就是直线L 。所以，首先要把握的就是直线L在整个坐标系空间内的位置。所以，会直接将该问题项转化为代数方程。通过这种问答关系的转变，可直接将问题简单化。

首先需要确定的就是L的位置，把握住直线L与圆点的垂直距离。确定直线L 的位置后，假设AB两点所在直线方程为Y=X+M 。由于只知道直线L1与直线L是平行的关系，所以需要借助其他条件来进一步求证。设方程组，可将AB两点的距离求出，即|AB|的值，（计算过程略）求出结果为/2。顺势再次求出BC的长度，然后借助勾股定理求出AC的长度。此刻，假设AC斜边最长，最终求出AB所在直线L1的方程式，即Y=X-1 。

3.討论

熟练掌握基础知识的学生，不一定能考高分，但考高分的学生一定是熟练掌握基础知识。因为优秀（以130分为标准）学生、中等学生（以110分为标准）、单科弱差生（低于80分）彼此间的差距，恰恰是基于基础知识点的延伸能力与拓展能力。比如常见的一些难题、复杂题目，有的同学很轻松解决，而其他的同学大半天都毫无头绪。故此，基础知识灵活掌控的基础上，更在于高中生的创新能力和数学思维。如何打破传统学习认知与创造性思维，相当程度上还是要取决于我们现有的教学体制和课堂施教观念。学习兴趣培养是前提也是其次，如何快速的找寻出包括等差数列在内的各知识考查题目的解题规律，则属于高中新课改的永恒话题。

参考文献：

[1]冯旭明. 浅谈构造法在高中数学解题中的应用[J]. 数理化解题研究， 2017（7）：37.

[2]何忆捷， 熊斌. 中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值[J]. 数学教育学报， 2018（2）.