小议巧用“数形结合”解决问题

范金进

关键词：巧用；数形结合；解决问题

“数”和“形”是数学中最基本的两个概念。数学家华罗庚先生说过“数无形时不直观，形无数时难入微”，这就是数形结合的思想。数形结合思想既是一种重要的数学思想，又是数学学习的一种重要手段，主要包括“以数解形”和“以形促数”两个方面。解析几何主要运用方程和代数的方法研究几何问题，是“以数解形”的经典之作。“以形促数”是数与代数、统计与概率两大知识领域知识教学的重要策略。“以形促数的”策略的巧妙使用，不仅可以帮助学生直观理解学过的知识，深化对已学知识的理解，还可以帮助学生有效描述和分析问题，提高分析解决问题的能力。数形结合通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。数形结合在教学中的应用就是把研究的数量关系和空间图形结合起来，根据解决问题需要，可以把数量关系的问题转化图形来讨论并解决，或者把图形问题转化成数量关系来讨论并解决，或者把数和形结合起来解决实际问题。由此达到把问题化繁为简、化难为易、化抽象为直观、化隐为显的目的。结合教学实践，浅谈如何应用“数形结合”解决问题。

一、“数形结合”让繁杂问题化繁为简

数形结合思想把数学语言与直观图形结合起来，揭示数学问题中的数量关系，能够提高学生的理解能力，促进学生形象思维和逻辑思维结合，最终把问题化复杂为简单并迅速解决问题。

如：在教学“排队问题”：小芳前面有6个同学，后面有5个同学，这样一排共有几个同学？在完成此题时有40%的同学弄错了。根据一年级学生的年龄特征和认知规律，我让学生用自己喜欢的方法，画图帮助理解题意，他们有的画人物，有的画图形，有的写数字，有的画符号，最后老师点明采用符号化的方法既简便又容易解决问题。如图：

通过画图，借助图形学生很快找到解决问题的方法。教师把“数”与“形”有机结合起来，学生把数学信息中蕴含的数量关系直观化和显性化，化繁为简，化难为易。学生真正体会数形结合的价值，感悟数形结合的思想。

二、“数形结合”让抽象问题化为直观

数形结合的思想在教学中的应用是把数量关系和空间图形有机结合起来，可以把数量关系的问题转化成图形问题来讨论并解决，借助图形解决最大优势是将抽象问题形象化、具体化，为学生在实际问题与算式之间、分析数量关系与解决问题之间架一座“桥”。如：五年级数学鸡兔同笼问题就是借助图形找到解决问题的办法。问题：鸡和兔一共10只，腿有32条。求鸡和兔各有多少只？用算术法解决鸡兔同笼问题，有些学生感觉很难，不易理解，此时借助图形，帮助学生理解，找到解决问题的方法。先画10个圆表示10只动物，假设全是鸡，给每个圆画2条腿，共画了20条腿。还有32-20=12（条）没有畫上，再剩下的腿添上，每个圆还可以添2条，12条腿可以添12÷2=6（只）。从画好的图中可以看出，这6只动物有4条腿是兔。只有2条腿4只是鸡。通过画图，不仅让题目中的抽象的数量关系变成直观，使人一目了然，而且完美诠释了“假设法”。学生在解决问题的过程中，感悟数形结合思想的在数学学习中的重要性。

再如，两位数乘两位数（14×12=？）乘法法则的教学中，教师通过呈现“点子图”（14行，每行12个圆点），引导学生观察并用笔圈出计算的全过程（10个14和2个14），这样通过点子图，就把抽象的“法则”与直观的“图形”有机结合起来，有利于学生理解算理、掌握算法，感悟数形结合思想的价值。

三、“数形结合”让几何问题化隐为显

华东师范大学刘濯源老师提出的“思维可视化”，是指运用一系列图示技术把本来不可视的思维呈现出来，使其清晰可见的过程。借鉴到数学教学中，我们可用图形的表征呈现思考，帮助学生更好理解数学。小学生在学习图形知识时，教材中通常都会给出现成的图形，学生一般都会根据文字、图形、算式对照思考。当学生遇到没有图形的题目时学生很难找到解决问题的办法。因为学生对题目中的数学信息理解、分析不全面、不到位。数学信息及其数量关系复杂隐晦，要分析理解就更困难了，这容易造成畏难情绪。一图胜千言，运用直观图形分析数学问题，可使内隐的数量关系外显，促进学生的理解。因此碰到这类题目时老师要求学生在纸上画画，把数学信息及问题在图中表示出来，把自己在大脑中想象的模型再现在纸上，以此拓展他们的解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。如：有一块正方体木料，棱长是4分米。把这块木料加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方分米？我让学生独立思考，可是想了很长时间，学生们都无从下手，不解其意，无法找到解决问题相应的数学信息。接着我在黑板上根据题目的要求把图出来，让学生仔细观察图，说一说你从图中发现什么？学生顿时恍然大悟，原来通过画图学生找到了隐藏的数学信息，圆锥的底面半径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长，从而找到解决问题的办法，感受到数形结合思想在学习数学中的重要性。

再如：六年级数学有这样一道题：一根圆柱形木头长3米，截成长度相等的4段，表面积增加了2.4平方分米。圆柱形木头的体积是多少平方分米？我让学生独立思考，可是学生思考许久都百思不得其解，找不到解决问题办法。此时，我引导学生在纸上画一画、想一想，截成4段后，表面积为什么会增加？增加了哪些面的面积？学生借助图形，利用图形的表征呈现思考。学生通过画图、结合图形进行观察、分析、思考，运用直观图形分析数学问题，可使内隐的数量关系外显，帮助学生更好理解数学，找到解决问题的办法。原来截成4断后，增加6个横截面积，圆柱木头的横截面积是2.4÷6=0.4（平方分米），再用横截面积乘长即0.4×30=12（立方分米）就等于木头的体积。学生在解决数学问题中，真正感受到数形结合方法是解决数学问题一种重要的手段，同时感悟数形结合思想的价值。

总之，图形在数学教学中的价值可见一斑，数形结合的思想的应用能够在一定的程度上推动教学目标的完成，对于教学效果的提升以及教学方法的不断改进有着至关重要的意义。因此我们在教学中要注重数形结合思想的培养，在培养数形结合思想的过程中，教师要充分挖掘教材的内容，将数形结合的思想渗透在具体的问题中，数形结合思想的有效应用不仅能够激发学生学习数学的兴趣、提高学习效率，还能够提高学习数学的能力、提升学生的数学素养。

参考文献

[1] 张秋华.巧用“数形结合”解决数学问题[J].教育教学论坛，2014，（47）：277-278.

[2] 张立娟.巧用数形结合法解题[J].今日科苑，2007，（12）：206.endprint