数学分析思想在高中数学解题中的应用探究

摘要：本文针对数学分析思想在高中数学解题中的应用进行分析，从泛函分析思想、调和分析思想及复分析思想三个角度展开论述。数学分析思想与高中数学解题融合，有助于学生提高解题效率，提高解答能力。

关键词：数学分析思想 高中数学解题 数学问题

数学分析思想是高等数学思想的重要组成部分，对学习数学知识与解答数学问题有着较为积极的作用。数学分析的思想主要包含泛函分析思想、调和分析思想及复分析思想等，其体现了数学的多元化特征。在高中数学学习的过程中，高中生需要加强数学分析思想的研究，将具体的数学问题与数学思想相结合，寻找合适的数学分析方法，提高自身数学学习能力。

一、泛函分析

泛函分析是现代数学分析的重要内容之一，对现代数学思维的发展产生了重要影响，也直接影响了现代科学技术的发展[1]。泛函分析思想主要涉及函数空间、非交换几何、非線性泛函分析以及算子代数等内容[2]。泛函分析是通过数学分析的方式，融合高等代数、空间解析几何等知识，整合数据，它是发现数学知识之间相互关联的重要途径，有助于学生提高数学解答能力。

在《正弦函数的图像和性质》一节的学习中，我们可以在回顾分析三角函数线的概念及作法基础上，绘制正弦线、余弦线。以“比较sin125°与sin145°的大小”问题为例，设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过点作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP为角α的正弦线，有向线段om为角α的余弦线，据此绘制图1。

描点作图发现 不能得出该点的精确位置，已知一个角α，应用几何方法可得对应的正弦值sinα大小。我们可在此基础上，进一步分析并以几何方法绘制点 。数学分析可将几何与代数相互融合，并在点、线、面融合的方式下，进一步发现数学问题中的规律，掌握答题方法。

二、调和分析

调和分析是现代分析数学的核心内容之一，华罗庚先生认为，将已知函数展开为Fourier级数的运算就叫做调和分析[3]。调和分析在空间理论研究中应用范围较广，特别是将拓扑理论推广到VMO空间中，其对拓扑学研究带来了较大影响。

在《曲线和方程》一节中，针对直角坐标系中直线与方程之间的关系，可以通过建立直角坐标系的方式进行分析。以问题“设M为直线上任意一点，则点的横纵坐标相等，即x=y或x-y=0.圆心为C（0，0） ，半径为r的圆C的方程为x2+y2=r2”为例，设M（x0，y0）为圆C上任意一点，则它到圆心O的距离等于r，满足方程 ，即 ，（x0，y0）是方程x2+y2=r2的解。

数学知识相互融合，有助于学生发散思维，形成曲线与方程融合的思维。并可使学生进一步认识“曲线的方程”、“方程的曲线”等概念，进而明确方程曲线的意义。

三、复分析

代数与分析学科中，复数域通常为基础数学的重要内容，复变函数的微积分理论即为经典复分析的主要内容之一，而Cauchy积分理论，复Riemann几何理论等均为常见的数学理论[4]。复分析分为复变量函数论、多个复变量函数论，在圆柱体等几何图形研究中应用广泛，它是现代数学研究的重要辅助工具。

比如《三视图》一节，为降低立体图形的分析难度，我们可以在三维直角坐标系中对其进行多个方位的投影，并将三个投影放置在一个平面上。

长方形的三视图如图2所示，将三个投影图放在一个平面内，按一定的布局排列，可得长方体的三视图。几何体在三视图中必须画出其轮廓线，能够看到的线即为实线，不能看到的线即为虚线。同时需要保证比例尺寸一致，不能出现比例失调的问题。原图形需要严格控制尺寸，在三视图中也需要明确标记，且应用尺寸线通过细实线标出。而原几何体的一个面上的线，在三视图中则不能体现。具体如下图3所示：

从不同的角度出发可以得到不同的三视图。故而在数学分析过程中，我们需要从多个角度进行分析，从一个几何体的三视图出发，进行分析。以问题“画出圆柱，圆锥，圆台的三视图”为例，我们可以从最简单的旋转体入手，在绘图的过程中逐步培养空间想象能力、逻辑思维能力。

四、结语

解答高中数学问题的过程中，数学分析思想对培养数学思维、提高解答能力等均能产生重要影响。解答数学问题需要将复分析思想、调和分析等融入其中，实现代数与几何知识的融合。并通过大量的数学解答训练，找到适合自己的解题思路。在新课程改革背景下，学生对于数学知识需要灵活应用，综合各类解题思路、解题方法，从多个角度分析，并在多个解答模式下深入理解数学原理，不断提高解题能力。

参考文献：

[1]胡晓明.关于高中数学解题教学中的变式训练的相关研究[J].中国校外教育，2016，（22）：59-60.

[2]李昀晟.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学理论与应用，2015，（04）：124-128.

[3]麦康玲.数学分析思想在高中数学解题中的应用[J].科教文汇（下旬刊），2015，（05）：110-111.

（作者简介：李源起，沈阳市第二十中学，高中学历。）