泰勒公式的若干典型应用

摘 要：高等数学中的一个非常重要的公式就是泰勒公式，本文通过具体实例介绍了泰勒公式的几种不同的典型应用。

关键词：泰勒公式；极限，定积分，微分方程；偏微分方程；行列式

由于某些数值计算和理论分析的需要，对于一些稍微复杂的函数，我们经常需要用一些合适的多项式等相对简单的函数来近似表示，其中泰勒公式是精确度比较高的一种。下面将介绍泰勒公式的几种典型应用。

一、 求函数的极限

例1 求极限limx→0cosx-e-x22x2[x+ln（1-x）]。

根据泰勒公式知cosx=1-x22+x44！+o（x4）；

e-x22=1+-x22+12-x222+o（x4）

ln（1-x）=-x-12x2+o（x4），则

原式=1-x22+x44！+o（x4）-1+-x22+12-x222+o（x4）x2

x-x-12x2+o（x4）

=14！-18x4+o（x4）-12x4+o（x4）=16.

二、 求函数的积分

例2 计算∫10arctanxxdx

由泰勒公式得arctanx=x-x33+x55-…+（-1）nx2n+12n+1+…

原式=∫101-x23+x45-…+（-1）nx2n2n+1+…dx

=x-x39+x525-x749+…

10

=1-19+125-149+…

三、 求微分方程的解

例3 求微分方程（1-x）y′=x2-y的解。

设y=∑∞n=0anxn是方程的解，代入方程得（1-x）∑∞n=1nanxn-1=x2-∑∞n=0anxn

整理得∑∞n=0[（n+1）an+1+（1-n）an]xn=x2

比较系数得a1=-a0；a2=0；a3=13；…；an=2n（n-1）（n≥4）

于是y=a0-a0x+13x3+16x4+110x5+…+2n（n-1）xn+…

四、 求解偏微分方程

例4 设u（x，y）对x和y的高阶偏导数存在，求解变系数微分方程

yvxx+vyy=2x，

v（x，0）=3x2，

vy（x，0）=x.假设方程的解属于C∞。

解：由方程yvxx+vyy=2x，知vyy=-yvxx+2x，令y=0，得vyy（x，0）=2x。

由v（x，0）=x2关于x求二阶偏导得vxx（x，0）=6

再对方程yvxx+vyy=2x两边关于y求偏导得vyyy=-vxx-yvxxy，也令y=0，有vyyy（x，0）=-vxx（x，0）-0=-vxx（x，0）=-6

同理易得vyyyy（x，0）=vyyyyy（x，0）=…=0

然后根据麦克劳林公式的广义表达式可得v（x，y）=v（x，0）+vy（x，0）y+12！vyy（x，0）y2+13！vyyy（x，0）y3+14！vyyyy（x，0）y4+…代入上式得v（x，y）=3x2+xy+xy2-y3

易证求得的解滿足所给方程及其初值条件。

五、 求行列式的值

首先根据行列式的特点构造对应的行列式函数，然后将这个行列式按泰勒公式在具体的点展开，通过求出行列式函数的各阶导数值代入公式即可。

例5 求行列式Dn=acc…c

bac…c

bba…c

……………

bbb…a

解：假设Dn（x）=xcc…c

bxc…c

bbx…c

……………

bbb…x，则Dn=Dn（a），将行列式函数Dn（x）按泰勒公式在x=c展开得

Dn（x）=Dn（c）+Dn′（c）（x-c）+Dn″（c）2！（x-c）+…+Dn（n）（c）n！（x-c）n

其中Dn（c）=ccc…c

bcc…c

bbc…c

……………

bbb…c=c（c-b）n-1。

接下来求出Dn（x）在的x=c各阶导数：

Dn′（c）=nc（c-b）n-2，Dn″（c）=n（n-1）c（c-b）n-3，…D（n）n（c）=n！

然后代入泰勒展开式得：

Dn（x）=c（c-b）n-1+nc（c-b）n-2（x-c）+

n（n-1）c（c-b）n-32！（x-c）2+…+n（n-1）…2c（n-1）！（x-c）n-1+（x-c）n

特别当b=c，易得Dn（x）=nc（x-c）n-1+（x-c）n。

最后令行列式函数中的x=a就能求出行列式Dn的值。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社，2014：143.

[2]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[J].高等数学研究，2010，13（3）：11-12.

[3]庄万.常微分方程习题解[M].济南：山东科学技术出版社，2004：342.

[4]周蜀林.偏微分方程[M].北京：北京大学出版社，2005：206.

[5]欧伯群.泰勒公式巧解行列式[J].广西梧州师范高等专科学校学报，2000，16（2）：67-68.

作者简介：刘利平，甘肃省兰州市，甘肃政法学院网络空间安全学院。endprint