浅谈代换法在高中数学解题中的灵活应用

赵灵瑶

【摘 要】 本文就主要从数学解题方式中的代换法入手，探讨其在解决高中数学题目中的应用。

【关键词】 代换法；高中数学；解题；应用方式

一、代换法概述

在数学解题方式中，代换法是极为有效的解题思路，可以解决数学问题中具有一定复杂性和含有多个未知条件的数学问题。在进行解题的过程中，可以适当利用知识间的内在联系，合理地转化题目中的数量关系和变量条件，实现复杂问题的简单化。而在解决数学题目的过程中，如果可以实现对数学解题代换法的灵活运用，不仅可以提高学生的数学思维能力，而且还可以提高学生的学习效率，对学生今后的学习有着一定的意义。

二、代换法在高中数学解题中的应用

（一）在概率问题中的等量代换的应用

高中时期的概率问题，通常要求一次解决实验中全部可能存在的结果，会涉及到排列、组合方面的知识，这就增加了解决数学问题的难度。对此，就需要将复杂的概率问题进行简化。比如“袋子中放置了8个红球和4个白球，这些球除了颜色之外，其他特征都相同。若从袋子中随机取出5个球，则取出红球的概率是多少”。在解这一概率问题时，首先可以设未知量，如果使用x来代表取出红球的数量，求p（x=3）的值。根据题意可得p（x=3）=CC/C=14/33≈0.42421，也就是说从袋子中取出的五个球中，约有0.42421的概率取出的是红球。在这道概率题目中，这些球除了颜色之外都相同，并且在解题时使用了代换法，将个体间几乎没有区别的物品，假设为有区别的个体，然后对其进行计算，提高了解题的效率，同时也简化了解题的复杂性。

（二）在函数变量问题中变量代换的应用

在解决高中数学函数变量问题时，有很多函数题是利用已知函数等式求出结果值的。但面对一些较为复杂和综合性的问题时，使用以往按部就班的解题方法，通常难以解决问题，此时就可以使用变量代替法来简化函数等式。比如：在解决“已知函数值f（1nx）=1-x，求f（x）的值”這一类似的问题时，就可以使用变量进简化解题过程。在具体的解题过程中，首先假设n=1nx，再将变量n代入到已知函数中，得出f（n）=1-x，这样就实现了函数的简化，然后求出x值，并将值代入到原等式中，最终就可以求出f（x）的值。由此可见，将代换法应用在一些题目较为复杂的问题中，有助于简化等式，进而提高数学的解题效率。

（三）三角代换法的应用

在解决高中数学问题时，三角代换法属于一种应用较为广泛的方法。并且在使用三角代换法时，简化了问题的复杂性，经常会取得事半功倍的效果。比如：在例题“是否存在实数x∈（-1，1），并且使得x为无理数，而2x2-1，4x3-3x和16x5-20x3+5x都是有理数”中，在解决这一问题时，可以首先假设存在x∈（-1，1）这一实数，令其中的x=cosθ，则可以得出cosθ为无理数，而由于2x2-1=cos2θ，4x3-3x=cos3θ，16x5-20x3+5x=cos5θ都属于有理数，从而可以得出α=cosθ+cos5θ属于无理数。另外，由于α=cosθ+cos5θ=2cos3θcos2θ还是两个不同有理数的乘积，可以得出α是有理数，但这一结论与前一结论中的“α=cosθ+cos5θ属于无理数”发生矛盾，因此不存在满足x∈（-1，1）这一条件的实数。在解决这一问题时，使用cosθ代替x，并经过代换的转变，简化了解题的过程，同时使原本较为抽象的问题转变为更加具体的解题过程，不仅提高了对问题的理解，而且还提高了解题的效率。

【参考文献】

[1] 沈小芳. 代换法在高中数学解题中的应用[J]. 考试周刊，2015（25）.